Zauważmy, że najmniejszą liczbą trzycyfrową, która przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1,$ jest $100.$  To oznacza, że pierwszy wyraz ciągu jest równy

$a_1=100$

Ostatnim wyrazem ciągu jest największa liczba trzycyfrowa, mniejsza od $500,$ która przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1.$

Zauważmy, że

$499=166\cdot 3+1$

Zatem ostatnim wyrazem ciągu jest liczba $499.$ Stąd

$a_n=499$

Kolejne liczby, które przy dzieleniu przez $3$ dają resztę $1,$ powtarzają się co $3.$ Zatem różnica ciągu $\left(a_n\right)$ jest równa

$r=3$

---

Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego i mamy

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$

$499=100+\left(n-1\right)\cdot 3$

Z powyższego wzoru wyznaczamy $n$ - liczbę wszystkich wyrazów ciągu.

$499=100+3n-3$

$499=97+3n|-97$

$402=3n|:3$

$n=134$

Ciąg $\left(a_n\right)$ ma $134$ wyrazy.

---

Odp. $134.$