Dany jest ciąg:

$a_n=n^3-6n^2+12n$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$a_n=n\left(n^2-6n+12\right)$

Wyznaczamy $n+1$-wszy wyraz tego ciągu.

$a_{n+1}=\left(n+1\right)\left({\left(n+1\right)}^2-6\left(n+1\right)+12\right)$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$a_{n+1}=\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1-6n-6+12\right)$

$a_{n+1}=\left(n+1\right)\left(n^2-4n+7\right)$

$a_{n+1}=n^3-4n^2+7n+n^2-4n+7$

$a_{n+1}=n^3-3n^2+3n+7$

Wyznaczamy różnicę tego ciągu.

$r=a_{n+1}-a_n$

$r=n^3-3n^2+3n+7-\left(n^3-6n^2+12n\right)$

$r=n^3-3n^2+3n+7-n^3+6n^2-12n$

$r=3n^2-9n+7$

Pokazaliśmy, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ różnica $a_{n+1}-a_n$ zależy od wartości $n,$ czyli nie jest stała. Wnioskujemy, że ciąg $a_n$ nie jest arytmetyczy.