Objętość prostopadłościanu Objętość prostopadłościanu o krawędziach długości $a,b,c$ obliczamy korzystając ze wzoru $V=a\cdot b\cdot c$

---

 a)

Dany jest prostopadłościan $P_1,$ którego krawędzie mają długości: $x\mathrm{cm},$ $(x+1)\mathrm{cm}$ i $(x+5)\mathrm{cm}.$ Wyznaczamy objętość tego prostopadłościanu.

$V_1\left(x\right)=x\left(x+1\right)\left(x+5\right)=\left(x^2+x\right)\left(x+5\right)=$

$=x^3+5x^2+x^2+5x=x^3+6x^2+5x$

Dany jest prostopadłościan $P_2,$ którego krawędzie mają długości: $(x+1)\mathrm{cm},$ $(x+2)\mathrm{cm}$ i $(x+3)\mathrm{cm}.$ Wyznaczamy objętość tego prostopadłościanu.

$V_2\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=$

$=\left(x^2+2x+x+2\right)\left(x+3\right)=$

$=\left(x^2+3x+2\right)\left(x+3\right)=$

$=x^3+3x^2+3x^2+9x+2x+6=$

$=x^3+6x^2+11x+6$

Wyznaczamy sumę objętości prostopadłościanów $P_1$ i $P_2.$

$V\left(x\right)=V_1\left(x\right)+V_2\left(x\right)=$

$=x^3+6x^2+5x+x^3+6x^2+11x+6=$

$=2x^3+12x^2+16x+6$

---

b)

Dany jest prostopadłościan $P_1,$ którego krawędzie mają długości: $x\mathrm{cm},$ $(x+y)\mathrm{cm}$ i $(2x+y)\mathrm{cm}.$ Wyznaczamy objętość tego prostopadłościanu.

$V_1\left(x,y\right)=x\left(x+y\right)\left(2x+y\right)=$

$=\left(x^2+xy\right)\left(2x+y\right)=$

$=2x^3+x^{2}y+2x^{2}y+x{y}^2=$

$=2x^3+3x^{2}y+x{y}^2$

Dany jest również prostopadłościan $P_2,$ którego krawędzie mają długości $(x-y)\mathrm{cm}$ $(x+y)\mathrm{cm}$ i $(x+2y)\mathrm{cm}.$ Wyznaczamy objętość tego prostopadłościanu.

$V_2\left(x,y\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x+2y\right)=$

$=\left(x^2-y^2\right)\left(x+2y\right)=$

$=x^3+2x^{2}y-x{y}^2-2y^3$

Wyznaczamy sumę objętości prostopadłościanów $P_1$ i $P_2.$

$V\left(x,y\right)=V_1\left(x,y\right)+V_2\left(x,y\right)=$

$=2x^3+3x^{2}y+x{y}^2+x^3+2x^{2}y-x{y}^2-2y^3=$

$=3x^3+5x^{2}y-2y^3$