a)

Dany jest prostokąt o bokach długości $2x^2+3$ i $x^2+1.$

Wyznaczamy obwód tego prostokąta.

$l\left(x\right)=2\cdot \left(x^2+1\right)+2\cdot \left(2x^2+3\right)$

$l\left(x\right)=2x^2+2+4x^2+6$

$l\left(x\right)=6x^2+8$

Obliczamy obwód prostokąta dla $x=\frac{1}{2}.$

$l\left(\frac{1}{2}\right)=6\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+8=\frac{6}{4}+8=$

$=\frac{3}{2}+\frac{16}{2}=\frac{19}{2}=9\frac{1}{2}$

Wyznaczamy pole prostokąta.

$p\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left(2x^2+3\right)$

$p\left(x\right)=2x^4+3x^2+2x^2+3$

$p\left(x\right)=2x^4+5x^2+3$

Obliczamy pole prostokąta dla $x=\frac{1}{2}.$

$p\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4+5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+3=$

$=\frac{2}{16}+\frac{5}{4}+3=\frac{1}{8}+\frac{10}{8}+\frac{24}{8}=\frac{35}{8}=4\frac{3}{8}$

---

b)

Dany jest trapez prostokątny o podstawach długości $4x^2+1$ i $7x^2+1$ oraz o dłuższym ramieniu długości $5x^2.$ Przedstawiono go na poniższym rysunku.

Zauważmy, że $y$ jest równy różnicy długości podstaw tego trapezu. Obliczamy długość odcinka $y.$

$y=\left(7x^2+1\right)-\left(4x^2+1\right)=$

$=7x^2+1-4x^2-1=3x^2$

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć wysokość $h$ tego trapezu.

$y^2+h^2={\left(5x^2\right)}^2$

${\left(3x^2\right)}^2+h^2={\left(5x^2\right)}^2$

$9x^4+h^2=25x^4|-9x^4$

$h^2=16x^4$

$h=4x^2$

Wyznaczamy obwód trapezu.

$l\left(x\right)=4x^2+1+5x^2+7x^2+1+4x^2$

$l\left(x\right)=20x^2+2$

Obliczamy obwód trapezu dla $x=\frac{1}{2}.$

$l\left(\frac{1}{2}\right)=20\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2=\frac{20}{4}+2=7$

Wyznaczamy pole trapezu. Wykorzystujemy wzór $P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}.$

$p\left(x\right)=\frac{\left(4x^2+1+7x^2+1\right)\cdot 4x^2}{2}$

$p\left(x\right)=\left(11x^2+2\right)\cdot 2x^2$

$p\left(x\right)=22x^4+4x^2$

Obliczamy pole trapezu dla $x=\frac{1}{2}.$

$p\left(\frac{1}{2}\right)=22\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4+4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=$

$=\frac{22}{16}+1=\frac{11}{8}+\frac{8}{8}=\frac{19}{8}=2\frac{3}{8}$

---

c)

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości $2x^2+4.$

Wyznaczamy obwód trójkąta.

$l\left(x\right)=3\cdot \left(2x^2+4\right)$

$l\left(x\right)=6x^2+12$

Obliczamy obwód trójkąta dla $x=\frac{1}{2}.$

$l\left(\frac{1}{2}\right)=6\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+12=\frac{3}{2}+\frac{24}{2}=\frac{27}{2}=13\frac{1}{2}$

Wyznaczamy pole trójkąta. Wykorzystamy wzór na pole trójkąta równobocznego $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},$ gdzie $a$ oznacza długość boku trójkąta.

$p\left(x\right)=\frac{{\left(2x^2+4\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}$

$p\left(x\right)=\frac{\left(4x^4+16x^2+16\right)\cdot \sqrt{3}}{4}$

$p\left(x\right)=\left(x^4+4x^2+4\right)\cdot \sqrt{3}$

$p\left(x\right)=\sqrt{3}{x}^4+4\sqrt{3}{x}^2+4\sqrt{3}$

Obliczamy pole trójkąta dla $x=\frac{1}{2}.$

$p\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4+4\sqrt{3}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+4\sqrt{3}=$

$=\sqrt{3}\left(\frac{1}{16}+4\cdot \frac{1}{4}+4\right)=\sqrt{3}\left(\frac{1}{16}+\frac{16}{16}+\frac{64}{16}\right)=$

$=\sqrt{3}\cdot \frac{81}{16}=\frac{81\sqrt{3}}{16}$