a)

$\{\begin{array}{l}y=-x^2+5\\ y=2x+2\end{array}$  

Przyrównajmy do siebie prawe strony obu równań:

$-x^2+5=2x+2$

$-x^2+5-2x-2=0$

$-x^2-2x+3=0$

$x^2+2x-3=0$

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-3\right)=4+12=16,\sqrt{\Delta }=4$

$x_1=\frac{-2-4}{2}=-\frac{6}{2}=-3\to y_1=2\cdot \left(-3\right)+2=-4$

$x_2=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1\to y_2=2\cdot 1+2=4$

Zatem rozwiązaniem powyższego układu jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-4\end{array}$   oraz   $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}$

Aby przedstawić interpretację geometryczną tego układu, musimy naszkicować wykres funkcji kwadratowej $y=-x^2+5$ i wykres funkcji liniowej $y=2x+2$.

Wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne $W=\left(0,5\right)$, a ramiona są skierowane do dołu. Stwórzmy jeszcze pomocniczą tabelkę, w której wyznaczymy kilka innych punktów należących do wykresu tej funkcji:

$x$	$-2$	$-1$	$1$	$2$
$y=-x^2+5$	$-1$	$4$	$4$	$1$

Podobną tabelkę stwórzmy dla funkcji liniowej $y=2x+2$:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$y=2x+2$	$0$	$2$	$4$

Przedstawmy interpretację graficzną tego układu:

---

b)

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2-x-6\\ x+y=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2-x-6\\ y=-x+2\end{array}$  

Przyrównajmy do siebie prawe strony obu równań:

$\frac{1}{2}{x}^2-x-6=-x+2$

$\frac{1}{2}{x}^2-8=0|\cdot 2$

$x^2-16=0$

$\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$

$x_1=4\to y_1=-4+2=-2$

$x_2=-4\to y_2=-\left(-4\right)+2=6$

Zatem rozwiązaniem powyższego układu jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-2\end{array}$   oraz   $\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=6\end{array}$

Aby przedstawić interpretację geometryczną tego układu, musimy naszkicować wykres funkcji kwadratowej $y=\frac{1}{2}{x}^2-x-6$ i wykres funkcji liniowej $y=-x+2$.

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka funkcji kwadratowej:

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{1}=1$

$q=f\left(1\right)=\frac{1}{2}-1-6=-6\frac{1}{2}$

$W=\left(1,-6\frac{1}{2}\right)$

Wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne $W=\left(1,-6\frac{1}{2}\right)$, a ramiona są skierowane do góry. Stwórzmy jeszcze pomocniczą tabelkę, w której wyznaczymy kilka innych punktów należących do wykresu tej funkcji:

$x$	$-2$	$0$	$2$
$y=\frac{1}{2}{x}^2-x-6$	$-2$	$-6$	$-6$

Podobną tabelkę stwórzmy dla funkcji liniowej $y=-x+2$:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$y=-x+2$	$3$	$2$	$1$

Przedstawmy interpretację graficzną tego układu:

---

c)

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2+2x-1\\ 2x-y+1=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2+2x-1\\ y=2x+1\end{array}$  

Przyrównajmy do siebie prawe strony obu równań:

$\frac{1}{2}{x}^2+2x-1=2x+1$

$\frac{1}{2}{x}^2-2=0|\cdot 2$

$x^2-4=0$

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x_1=2\to y_1=2\cdot 2+1=5$

$x_2=-2\to y_2=2\cdot \left(-2\right)+1=-3$

Zatem rozwiązaniem powyższego układu jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=5\end{array}$   oraz   $\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-3\end{array}$

Aby przedstawić interpretację geometryczną tego układu, musimy naszkicować wykres funkcji kwadratowej $y=\frac{1}{2}{x}^2+2x-1$ i wykres funkcji liniowej $y=2x+1$.

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka funkcji kwadratowej:

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{1}=-2$

$q=f\left(2\right)=\frac{1}{2}\cdot 4+2\cdot \left(-2\right)-1=-3$

Wierzchołek funkcji kwadratowej ma współrzędne $W=\left(-2,-3\right)$, a ramiona są skierowane do góry. Stwórzmy jeszcze pomocniczą tabelkę, w której wyznaczymy kilka innych punktów należących do wykresu tej funkcji:

$x$	$-4$	$0$
$y=\frac{1}{2}{x}^2+2x-1$	$-1$	$-1$

Podobną tabelkę stwórzmy dla funkcji liniowej $y=2x+1$:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$y=-2x+1$	$-1$	$1$	$3$

Przedstawmy interpretację graficzną tego układu: