Rozłóż wielomian na czynniki...- Zadanie 9: NOWA MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Rozłóżmy na czynniki wielomian:

$w (x) = x^{3} + (x - 1)^{3} + (x - 2)^{3} + (x - 3)^{3}$

Korzystając dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów, mamy:

$x^{3} + (x - 3)^{3} + (x - 1)^{3} + (x - 2)^{3} =$

$= (x + x - 3) (x^{2} - x (x - 3) + (x - 3)^{2}) + (x - 1 + x - 2) ((x - 1)^{2} - (x - 1) (x - 2) + (x - 2)^{2}) =$

$= (2 x - 3) (x^{2} - x^{2} + 3 x + x^{2} - 6 x + 9) + (2 x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 - (x^{2} - 2 x - x + 2) + x^{2} - 4 x + 4) =$

$= (2 x - 3) (x^{2} - x^{2} + 3 x + x^{2} - 6 x + 9) + (2 x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} + 3 x - 2 + x^{2} - 4 x + 4) =$

$= (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 3) =$

$= (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 9 + x^{2} - 3 x + 3) =$

$= (2 x - 3) (2 x^{2} - 6 x + 12) = (2 x - 3) \cdot 2 (x^{2} - 3 x + 6)$

Rozłóżmy na czynniki wielomian $y = x^{2} - 3 x + 6$ . Mamy:

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 < 0$

Zatem wielomian $y = x^{2} - 3 x + 6$ nie jest rozkładalny i dostajemy:

Zatem:=

$w (x) = (2 x - 3) \cdot 2 (x^{2} - 3 x + 6)$

$w (x) = 2 (2 x - 3) (x^{2} - 3 x + 6)$

Rozłóżmy na czynniki wielomian:

$w (x) = (x^{2} - x)^{3} + (x - 1)^{3} + (1 - x^{2})^{3}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów, mamy:

$w (x) = (x^{2} - x)^{3} + (x - 1)^{3} + (1 - x^{2})^{3} =$

$= (x^{2} - x)^{3} + (x - 1 + 1 - x^{2}) ((x - 1)^{2} - (x - 1) (1 - x^{2}) + (1 - x^{2})^{2}) =$

$= (x^{2} - x)^{3} + (x - x^{2}) ((x - 1)^{2} - (x - 1) (1 - x^{2}) + (1 - x^{2})^{2}) =$

$= (x^{2} - x)^{3} - (- x + x^{2}) ((x - 1)^{2} - (x - 1) (1 - x^{2}) + (1 - x^{2})^{2}) =$

$= (x^{2} - x)^{3} - (x^{2} - x) ((x - 1)^{2} - (x - 1) (1 - x^{2}) + (1 - x^{2})^{2}) =$

$= (x^{2} - x) [(x^{2} - x)^{2} - ((x - 1)^{2} - (x - 1) (1 - x^{2}) + (1 - x^{2})^{2})] =$

$= (x^{2} - x) [(x^{2} - x)^{2} - (x^{2} - 2 x + 1 - (x - x^{3} - 1 + x^{2}) + 1 - 2 x^{2} + x^{4})] =$

$= (x^{2} - x) [(x^{2} - x)^{2} - (x^{4} - x^{2} - 2 x + 2 - x + x^{3} + 1 - x^{2})] =$

$= (x^{2} - x) [(x^{2} - x)^{2} - (x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 3)] =$

$= (x^{2} - x) (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 3) =$

$= (x^{2} - x) (- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 3) =$

$= x (x - 1) [- 3 x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)] =$

$= x (x - 1) (x - 1) (- 3 x^{2} + 3) =$

$= x (x - 1)^{2} \cdot (- 3) \cdot (x^{2} - 1) =$

$- 3 x (x - 1)^{2} (x - 1) (x + 1) = - 3 x (x - 1)^{3} (x + 1)$

Zatem otrzymaliśmy:

$w (x) = - 3 x (x - 1)^{3} (x + 1)$

Katarzyna Nowocień

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania wielomianowe

Premium

9:27

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia 2

Premium

13:07

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Działania na wyrażeniach algebraicznych – wyłączanie czynnika przed nawias

Premium

7:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.