Pokażemy, że dla $x$, $y$ takich, że $\left(\ast \right)x+y⩾1$ zachodzi:

$x^3+2xy+y^3⩾x^2+xy\left(x+y\right)+y^2$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów wiemy, że:

$x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)$

Przekształćmy wyjściową nierówność w sposób równoważny:

$x^3+2xy+y^3⩾x^2+xy\left(x+y\right)+y^2|-x^2-xy\left(x+y\right)-y^2$

$\left(x^3+y^3\right)+2xy-x^2-xy\left(x+y\right)-y^2⩾0$

$\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)⩾0$

$\left(x+y\right)\left[\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\right]-{\left(x-y\right)}^2⩾0$

${\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x-y\right)}^2⩾0$

${\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2-\left(x-y\right)}^2⩾0$

${\left(x-y\right)}^2\left(x+y-1\right)⩾0$

Zauważmy, że:

• ${\left(x-y\right)}^2⩾0$ jako kwadrat liczby rzeczywistej,
• $x+y-1⩾0$, ponieważ z założenia$x+y⩾1$

To oznacza, że nierówność $x^3+2xy+y^3⩾x^2+xy\left(x+y\right)+y^2$ jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$i $y$takich, że $x+y⩾1$ , co należało wykazać.