Rozwiązujemy równania wykładnicze, korzystając z własności potęg:

$(a^b{)}^c=a^{bc}$

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

jeśli $a^x=a^y$ oraz $a>0$, $a\ne 1$, to $x=y$

We wszystkich zadaniach zakładamy $x>0$.

---

a)

${\left(x^{\sqrt{5}-1}\right)}^{\sqrt{5}+1}=0,0625$

Korzystamy z własności potęgi potęgi:

$${\left(x^{\sqrt{5}-1}\right)}^{\sqrt{5}+1}=x^{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$$Zauważamy wzór skróconego mnożenia:

$$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=5-1=4$$

Otrzymujemy:

$$x^4=0,0625$$Ponieważ $0,0625=\frac{1}{16}=2^{-4}$, mamy:

$$x^4=2^{-4}$$

Stąd:

$$x=2^{-1}=\frac{1}{2}$$

---

b)

 $12{\left({\sqrt{x}}^{\sqrt{12}}\right)}^{\sqrt{3}}=2,25^{-1}$

Najpierw upraszczamy wykładnik:

$${\left({\sqrt{x}}^{\sqrt{12}}\right)}^{\sqrt{3}}=(\sqrt{x}{)}^{\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}}$$

Ponieważ:

$$\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6$$

mamy:

$$(\sqrt{x}{)}^6$$

A ponieważ $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, to:

$$(\sqrt{x}{)}^6=(x^{\frac{1}{2}}{)}^6=x^3$$

Równanie przyjmuje postać:

$$12x^3=2,25^{-1}$$

Obliczamy:

$$2,25=\frac{9}{4}\Rightarrow 2,25^{-1}=\frac{4}{9}$$

Zatem:

$$12x^3=\frac{4}{9}$$

Dzielimy przez 12:

$$x^3=\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{12}=\frac{4}{108}=\frac{1}{27}$$

Stąd:

$$x=\frac{1}{3}$$

---

c)

${\left((\sqrt{8}x-\sqrt{2}x{)}^{\sqrt{8}}\right)}^{\sqrt{2}}=20,25$

Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$\sqrt{8}x-\sqrt{2}x=x(\sqrt{8}-\sqrt{2})$$

Ponieważ:

$$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

mamy:

$$x(2\sqrt{2}-\sqrt{2})=x\sqrt{2}$$

Równanie:

$${\left((x\sqrt{2}{)}^{\sqrt{8}}\right)}^{\sqrt{2}}$$

Korzystamy z własności potęg:

$$(x\sqrt{2}{)}^{\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}}$$

A ponieważ:

$$\sqrt{8}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{16}=4$$

otrzymujemy:

$$(x\sqrt{2}{)}^4$$

Rozwijamy:

$$(x\sqrt{2}{)}^4=x^4(\sqrt{2}{)}^4$$

$$(\sqrt{2}{)}^4=4$$

Zatem:

$$4x^4=20,25$$

Dzielimy przez 4:

$$x^4=\frac{20,25}{4}=\frac{81}{16}$$

Ponieważ:

$$\frac{81}{16}={\left(\frac{3}{2}\right)}^4$$

dostajemy:

$$x=\frac{3}{2}$$

(tylko dodatnie rozwiązanie).

---

d)

 $3{\left(x^{3\sqrt{3}}\cdot x^{3\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=192$

Najpierw łączymy potęgi o tej samej podstawie:

$$x^{3\sqrt{3}}\cdot x^{3\sqrt{2}}=x^{3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$$

Zatem:

$$3{\left(x^{3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=192$$

Mnożymy wykładniki:

$$x^{(3\sqrt{3}+3\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$$

Wyłączamy 3:

$$3(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$$

Zatem wykładnik wynosi $3\cdot 1=3$.

Równanie:

$$3x^3=192$$

$$x^3=64$$

$$x=4$$