Rozważmy dwa przypadki: gdy okrąg $O_3$ jest styczny do $O_1$ i $O_2$ wewnętrznie lub zewnętrznie.

---

PRZYPADEK I

Rozważmy przypadek, gdy okrąg $O_3$ jest styczny do $O_1$ i $O_2$ zewnętrznie. Naszkicujmy rysunek pomocniczy:

Oznaczając promień okręgu o środku $O_3$ przez $r$ gdzie $r>0$, i korzystając z faktu, że okrąg $O_3$ jest styczny zewnętrznie do okręgów $O_1$ i $O_2$, mamy wtedy:

$\left|O_1{O}_3\right|=r+14$

$\left|O_2{O}_3\right|=r+15$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $O_1{O}_2{O}_3$ mamy:

${\left|O_1{O}_3\right|}^2+{\left|O_2{O}_3\right|}^2={\left|O_1{O}_2\right|}^2$

${\left(r+14\right)}^2+{\left(r+15\right)}^2={\left(14+15\right)}^2$

$r^2+28r+196+r^2+30r+225=29^2$

$2r^2+58r+421=841|-421$

$2r^2+58r-420=0|:2$

$r^2+29r-210=0$

$\Delta =29^2-4\cdot 1\cdot \left(-210\right)=841+840=1681$

$\sqrt{\Delta }=41$

$r_1=\frac{-29-41}{2}<0$

$r_2=\frac{-29+41}{2}=\frac{12}{2}=6$

Zatem w tym wypadku mamy:

$r=6$

---

PRZYPADEK II

Rozważmy przypadek, gdy okrąg $O_3$ jest styczny do $O_1$ i $O_2$ wewnętrznie. Naszkicujmy rysunek pomocniczy:

Oznaczając promień okręgu o środku $O_3$ przez $r$ gdzie $r>0$, i korzystając z faktu, że okrąg $O_3$ jest styczny wewnętrznie do okręgów $O_1$ i $O_2$, mamy wtedy:

$\left|O_1{O}_3\right|=\left|r-14\right|$

$\left|O_2{O}_3\right|=\left|r-15\right|$

Zauważmy, że $r>15$, zatem:

$\left|O_1{O}_3\right|=r-14$

$\left|O_2{O}_3\right|=r-15$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $O_1{O}_2{O}_3$ mamy:

${\left|O_1{O}_3\right|}^2+{\left|O_2{O}_3\right|}^2={\left|O_1{O}_2\right|}^2$

${\left(r-14\right)}^2+{\left(r-15\right)}^2={\left(14+15\right)}^2$

$r^2-28r+196+r^2-30r+225=29^2$

$2r^2-58r+421=841|-421$

$2r^2-58r-420=0|:2$

$r^2-29r-210=0$

$\Delta ={\left(-29\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-210\right)=841+840=1681$

$\sqrt{\Delta }=41$

$r_1=\frac{29-41}{2}<0$

$r_2=\frac{29+41}{2}=\frac{70}{2}=35$

Zatem w tym wypadku mamy:

$r=35$

---

Biorąc pod uwagę oba przypadki mamy, że szukany promień okręgu ma długość $6$ lub $35$.