Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:
Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkątach ABD oraz ACD mamy:
{∣AB∣2=∣BD∣2+∣AD∣2−2⋅∣BD∣⋅∣AD∣⋅cos∣∢ADB∣∣AC∣2=∣CD∣2+∣AD∣2−2⋅∣CD∣⋅∣AD∣⋅cos∣∢ADC∣
{62=x2+42−2⋅x⋅4⋅cosα102=x2+42−2⋅x⋅4⋅cosβ
{36=x2+16−8x⋅cosα100=x2+16−8x⋅cos(180∘−α)
{36=x2+16−8x⋅cosα100=x2+16−8x⋅(−cosα)
+{36=x2+16−8x⋅cosα100=x2+16+8x⋅cosα
136=2x2+32∣−32
104=2x2∣:2
x2=52∣,x>0
x=52=4⋅13=213
Stąd:
∣BC∣=2x=2⋅213=413
Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC mamy:
∣BC∣2=∣AC∣2+∣AB∣2−2⋅∣AC∣⋅∣AB∣⋅cos∣∢CAB∣
(413)2=102+62−2⋅10⋅6⋅cos∣∢CAB∣
16⋅13=100+36−120⋅cos∣∢CAB∣
208=136−120⋅cos∣∢CAB∣∣−136
72=−120⋅cos∣∢CAB∣∣:(−120)
cos∣∢CAB∣=−53
Obliczmy sin∣∢CAB∣ korzystając z jedynki trygonometrycznej:
sin2∣∢CAB∣+cos2∣∢CAB∣=1
sin2∣∢CAB∣+(−53)2=1
sin2∣∢CAB∣+259=1∣−259
sin2∣∢CAB∣=2516∣,sin∣∢CAB∣>0
sin∣∢CAB∣=54
Obliczmy pole trójkąta ABC:
P=21⋅∣AB∣⋅∣AC∣⋅sin∣∢CAB∣=21⋅6⋅10⋅54=24
Odp.: Pole trójkąta ABC jest równe 24.
