Dana jest liczba:
tg10∘⋅tg20∘⋅tg30∘⋅tg40∘⋅tg50∘⋅tg60∘⋅tg70∘⋅tg80∘
Korzystając z tego, że tgα=cosαsinα, możemy zapisać, że:
tg10∘⋅tg20∘⋅tg30∘⋅tg40∘⋅tg50∘⋅tg60∘⋅tg70∘⋅tg80∘=
=cos10∘sin10∘⋅cos20∘sin20∘⋅cos30∘sin30∘⋅cos40∘sin40∘⋅cos50∘sin50∘⋅cos60∘sin60∘⋅cos70∘sin70∘⋅cos80∘sin80∘=…
Następnie korzystając ze wzoru redukcyjnego sin(90∘−α)=cosα, mamy:
=cos10∘sin(90∘−80∘)⋅cos20∘sin(90∘−70∘)⋅cos30∘sin(90∘−60∘)⋅cos40∘sin(90∘−50∘)⋅
⋅cos50∘sin(90∘−40∘)⋅cos60∘sin(90∘−30∘)⋅cos70∘sin(90∘−20∘)⋅cos80∘sin(90∘−10∘)=
=cos10∘cos80∘⋅cos20∘cos70∘⋅cos30∘cos60∘⋅cos40∘cos50∘⋅cos50∘cos40∘⋅cos60∘cos30∘⋅cos70∘cos20∘⋅cos80∘cos10∘=
=cos10∘⋅cos20∘⋅cos30∘⋅cos40∘⋅cos50∘⋅cos60∘⋅cos70∘⋅cos80∘cos10∘⋅cos20∘⋅cos30∘⋅cos40∘⋅cos50∘⋅cos60∘⋅cos70∘⋅cos80∘=1
Zatem otrzymaliśmy, że:
tg10∘⋅tg20∘⋅tg30∘⋅tg40∘⋅tg50∘⋅tg60∘⋅tg70∘⋅tg80∘=1
