a)

Dana jest równość:

$\frac{1-{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\mathrm{tg}\alpha$

Przekształćmy lewą stronę równania i skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej oraz faktu, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Mamy:

$L=\frac{1-{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\mathrm{tg}\alpha =P$

Skoro $L=P$, to podana równość jest tożsamością dla każdego kąta ostrego $\alpha$, co należało wykazać.

---

b)

Dana jest równość:

${\mathrm{tg}}^2\alpha \left(1-{\sin }^2\alpha \right)={\sin }^2\alpha$

Przekształćmy lewą stronę równania i skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej oraz faktu, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Mamy:

$L={\mathrm{tg}}^2\alpha \left(1-{\sin }^2\alpha \right)={\mathrm{tg}}^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }\cdot {\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha =P$

Skoro $L=P$, to podana równość jest tożsamością dla każdego kąta ostrego $\alpha$, co należało wykazać.

---

c)

Dana jest równość:

${\left(\frac{\mathrm{tg}\alpha }{\sin \alpha }\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sin \alpha }\right)}^2={\left(\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }\right)}^2$

Przekształćmy lewą stronę równania i skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej oraz faktu, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Mamy:

$L={\left(\frac{\mathrm{tg}\alpha }{\sin \alpha }\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sin \alpha }\right)}^2=\frac{{\mathrm{tg}}^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=$

$=\frac{{\mathrm{tg}}^2\alpha +1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}{{\sin }^2\alpha }=\frac{\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}{{\sin }^2\alpha }=$

$=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }={\left(\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }\right)}^2=P$

Skoro $L=P$, to podana równość jest tożsamością dla każdego kąta ostrego $\alpha$, co należało wykazać.

---

d)

Dana jest równość:

${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2+{\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2=2$

Przekształćmy lewą stronę równania i skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej oraz wzorów skróconego mnożenia. Mamy:

$L={\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2+{\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2=$

$={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =$

$=2{\sin }^2\alpha +2{\cos }^2\alpha =2\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)=2\cdot 1=2=P$

Skoro $L=P$, to podana równość jest tożsamością dla każdego kąta ostrego $\alpha$, co należało wykazać.