Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Wiemy, że:

$\left|AB\right|=20$

$\left|CD\right|=5$

Zauważmy, że:

• $\left|\sphericalangle AEB\right|=\left|\sphericalangle CED\right|$, jako kąty wierzchołkowe,
• $\left|\sphericalangle BAE\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|$, jako kąty odpowiadające,
• $\left|\sphericalangle ABE\right|=\left|\sphericalangle EDC\right|$, jako kąty odpowiadające.

Zatem trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne z cechy kąt-kąt-kąt. Stąd:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|FE\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|GE\right|}$

$\frac{20}{12-x}=\frac{5}{x}$

$20x=60-5x|+5x$

$25x=60|:25$

$x=\frac{60}{25}$

$x=\frac{12}{5}$

Zapiszmy pole trójkąta $ABE$ na dwa sposoby. Mamy:

$\frac{1}{2}\cdot \left|BE\right|\cdot \left|AE\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|FE\right||\cdot 2$

$\left|BE\right|\cdot \left|AE\right|=\left|AB\right|\cdot \left|FE\right|$

$\left|BE\right|\cdot \left|AE\right|=20\cdot \left(12-\frac{12}{5}\right)$

$\left|BE\right|\cdot \left|AE\right|=240-48$

$\left|BE\right|\cdot \left|AE\right|=192|:\left|AE\right|$

$\left|BE\right|=\frac{192}{\left|AE\right|}$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABE$ mamy:

${\left|BE\right|}^2+{\left|AE\right|}^2={\left|AB\right|}^2$

${\left(\frac{192}{\left|AE\right|}\right)}^2+{\left|AE\right|}^2=20^2$

$\frac{36864}{{\left|AE\right|}^2}+{\left|AE\right|}^2=400|\cdot {\left|AE\right|}^2$

$36864+{\left|AE\right|}^4=400{\left|AE\right|}^2|-400{\left|AE\right|}^2$

$36864+{\left|AE\right|}^4-400{\left|AE\right|}^2=0$

${\left|AE\right|}^4-400{\left|AE\right|}^2+36864=0$

Wykonajmy podstawienie:

${\left|AE\right|}^2=x$, gdzie $x>0$

Wtedy równanie przyjmuje postać:

$x^2-400x+36864=0$

$\Delta ={\left(-400\right)}^2-4\cdot 1\cdot 36864=12544$

$\sqrt{\Delta }=112$

$x_1=\frac{400-112}{2}=\frac{288}{2}=144$

$x_2=\frac{400+112}{2}=\frac{512}{2}=256$

Wracając do podstawienia mamy, że:

${\left|AE\right|}^2=144\vee {\left|AE\right|}^2=256$

Skoro $\left|AE\right|>0$, to:

$\left|AE\right|=12\vee \left|AE\right|=16$

Jeżeli $\left|AE\right|=12$, to $\left|BE\right|=\frac{192}{12}=16$.

Jeżeli $\left|AE\right|=16$, to $\left|BE\right|=\frac{192}{16}=12$.

Bez straty ogólności przyjmijmy, że $\left|AE\right|=12$ oraz $\left|BE\right|=16$.

Wtedy:

$\cos \alpha =\frac{\left|BE\right|}{\left|AB\right|}=\frac{16}{20}=\frac{8}{10}=0,8$

$\cos \beta =\frac{\left|AE\right|}{\left|AB\right|}=\frac{12}{20}=\frac{6}{10}=0,6$