Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=x^2-8x+15$

Aby sprawdzić, dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości należące do przedziału $\left(3;8\right),$ należy sprawdzić dla jakich argumentów przyjmuje wartości większe od $3$ i mniejsze od $8,$ a zatem rozwiązań poniższe nierówności i znaleźć część wspólną ich rozwiązań.

$f\left(x\right)>3\text{i}f\left(x\right)<8$

1) Rozwiązujemy nierówność:

$f\left(x\right)>3$

$x^2-8x+15>3|-3$

$x^2-8x+12>0$

Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$x^2-8x+12=0$

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$

Skoro $\Delta >0,$ to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-\left(-8\right)-4}{2\cdot 1}=\frac{8-4}{2}=\frac{4}{2}=2$

$x_2=\frac{-\left(-8\right)+4}{2\cdot 1}=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ;2\right)\cup \left(6;\infty \right)$

2) Rozwiązujemy nierówność:

$f\left(x\right)<8$

$x^2-8x+15<8|-8$

$x^2-8x+7<0$

Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$x^2-8x+7=0$

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{36}=6$

Skoro $\Delta >0,$ to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-\left(-8\right)-6}{2\cdot 1}=\frac{8-6}{2}=\frac{2}{2}=1$

$x_2=\frac{-\left(-8\right)+6}{2\cdot 1}=\frac{8+6}{2}=\frac{14}{2}=7$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(1;7\right)$

Zatem z 1) i 2) dostajemy:

$f\left(x\right)\in \left(3;8\right)\iff x\in [\left(-\infty ;2\right)\cup \left(6;\infty \right)]\cap \left(1;7\right)$

Wnioskujemy, że

$f\left(x\right)\in \left(3;8\right)\iff x\in \left(1;2\right)\cup \left(6;7\right)$