a)

Dana jest funkcja:

$y=-x^2+bx+c$

Jej osią symetrii jest prosta

$l:x=-1$

Osią symetrii paraboli jest prosta $x=p,$ zatem

$p=-1$

Korzystając ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli możemy zapisać

$-\frac{b}{2a}=-1$

$-\frac{b}{2\cdot \left(-1\right)}=-1$

$-\frac{b}{-2}=-1$

$\frac{b}{2}=-1|\cdot 2$

$b=-2$

Zatem otrzymujemy wzór postaci

$y=x^2-2x+c$

Do wykresu tej funkcji należy punkt $P\left(0,4\right).$ Podstawiając współrzędne tego punktu do wzoru funkcji otrzymujemy

$0^2-2\cdot 0+c=4$

$c=4$

Zatem otrzymujemy wzór postaci

$y=x^2-2x+4$

Zapiszmy wzór tej funkcji w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli. Mamy:

$\Delta =(-2{)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 4=$

$=4+16=$

$=20$

$q=-\frac{20}{4\cdot \left(-1\right)}=$

$=-\frac{20}{-5}=$

$=5$

Zatem otrzymaliśmy

$y=-{\left(x+1\right)}^2+5$

---

b)

Dana jest funkcja:

$y=-x^2+bx+c$

Jej osią symetrii jest prosta

$l:x=2$

Osią symetrii paraboli jest prosta $x=p,$ zatem

$p=2$

Korzystając ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli możemy zapisać

$-\frac{b}{2a}=2$

$-\frac{b}{2\cdot \left(-1\right)}=2$

$-\frac{b}{-2}=2$

$\frac{b}{2}=2|\cdot 2$

$b=4$

Zatem otrzymujemy wzór postaci

$y=-x^2+4x+c$

Do wykresu tej funkcji należy punkt $P\left(0,-3\right).$ Podstawiając współrzędne tego punktu do wzoru funkcji otrzymujemy

$0^2+4\cdot 0+c=-3$

$c=-3$

Zatem otrzymujemy wzór postaci

$y=-x^2+4x-3$

Zapiszmy wzór tej funkcji w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli. 

$\Delta =4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-3\right)=$

$=16-12=$

$=4$

$q=-\frac{4}{4\cdot \left(-1\right)}=$

$=-\frac{4}{-4}=$

$=1$

Zatem otrzymujemy:

$y=-{\left(x-2\right)}^2+1$