a)

Dana jest funkcja:

$y=x^2+bx+c$

Jej osią symetrii jest prosta

$l:x=-4$

Osią symetrii paraboli jest prosta $x=p,$ zatem

$p=-4$

Korzystając ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli możemy zapisać

$-\frac{b}{2a}=-4$

$-\frac{b}{2\cdot 1}=-4$

$-\frac{b}{2}=-4|\cdot \left(-2\right)$

$b=8$

Zatem otrzymujemy wzór postaci

$y=x^2+8x+c$

Do wykresu tej funkcji należy punkt $P\left(0,2\right).$ Podstawiając współrzędne tego punktu do wzoru funkcji otrzymujemy

$0^2+8\cdot 0+c=2$

$c=2$

Zatem otrzymujemy wzór postaci

$y=x^2+8x+2$

Zapiszmy wzór tej funkcji w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli. Mamy:

$\Delta =8^2-4\cdot 1\cdot 2=$

$=64-8=$

$=56$

$q=-\frac{56}{4\cdot 1}=$

$=-\frac{56}{4}=$

$=-14$

Zatem otrzymaliśmy

$y={\left(x+4\right)}^2-14$

---

b)

Dana jest funkcja:

$y=x^2+bx+c$

Jej osią symetrii jest prosta

$l:x=3$

Osią symetrii paraboli jest prosta $x=p,$ zatem

$p=3$

Korzystając ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli możemy zapisać

$-\frac{b}{2a}=3$

$-\frac{b}{2\cdot 1}=3$

$-\frac{b}{2}=3|\cdot \left(-2\right)$

$b=-6$

Zatem otrzymujemy wzór postaci

$y=x^2-6x+c$

Do wykresu tej funkcji należy punkt $P\left(0,-6\right).$ Podstawiając współrzędne tego punktu do wzoru funkcji otrzymujemy

$0^2-6\cdot 0+c=-6$

$c=-6$

Zatem otrzymujemy wzór postaci

$y=x^2-6x-6$

Zapiszmy wzór tej funkcji w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli. 

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=$

$=36+24=$

$=60$

$q=-\frac{60}{4\cdot 1}=$

$=-\frac{60}{4}=$

$=-15$

Zatem otrzymujemy:

$y={\left(x-3\right)}^2-15$