a)

Dana jest funkcja:

$f_1\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$

Wypiszmy jej współczynniki.

$a=-\frac{1}{4}$

$b=\frac{1}{2}$

$c=\frac{5}{4}$

Obliczmy jej wyróżnik.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta ={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{5}{4}$

$\Delta =\frac{1}{4}+\frac{5}{4}$

$\Delta =\frac{6}{4}$

$\Delta =\frac{3}{2}$

Zapiszmy ją w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej jej wykresem. 

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{1}{2}}{2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}=-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=1$

$p=-\frac{\frac{1}{2}}{2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}$

$p=-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}$

$p=1$

$q=-\frac{\Delta }{4a}$

$q=-\frac{\frac{3}{2}}{4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}$

$q=-\frac{\frac{3}{2}}{-1}$

$q=\frac{3}{2}$

Zatem otrzymaliśmy, że wykres podanej funkcji ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(1,\frac{3}{2}\right).$

Zapiszmy wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

$f_1\left(x\right)=-\frac{1}{4}{\left(x-1\right)}^2+\frac{3}{2}$

---

Dana jest funkcja:

$f_2\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$

Wypiszmy jej współczynniki:

$a=-\frac{1}{4}$

$b=-\frac{1}{2}$

$c=\frac{5}{4}$

Obliczmy jej wyróżnik.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta ={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{5}{4}$

$\Delta =\frac{1}{4}+\frac{5}{4}$

$\Delta =\frac{6}{4}$

$\Delta =\frac{3}{2}$

Zapiszmy ją w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej jej wykresem.

$p=-\frac{b}{2a}$

$p=-\frac{-\frac{1}{2}}{2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}$

$p=-\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}$

$p=-1$

$q=-\frac{\Delta }{4a}$

$q=-\frac{\frac{3}{2}}{4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}$

$q=-\frac{\frac{3}{2}}{-1}$

$q=\frac{3}{2}$

Zatem otrzymaliśmy, że wykres podanej funkcji ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(-1,\frac{3}{2}\right).$

Zapiszmy wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

$f_2\left(x\right)=-\frac{1}{4}{\left(x+1\right)}^2+\frac{3}{2}$

---

Dana jest funkcja:

$f_3\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2+3x-6$

Wypiszmy jej współczynniki.

$a=-\frac{1}{4}$

$b=3$

$c=-6$

Obliczmy jej wyróżnik.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta =3^2-4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot \left(-6\right)$

$\Delta =9-6$

$\Delta =3$

Zapiszmy ją w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej jej wykresem. 

$p=-\frac{b}{2a}$

$p=-\frac{3}{2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}$

$p=-\frac{3}{-\frac{1}{2}}$

$p=3\cdot \frac{2}{1}$

$p=6$

$q=-\frac{\Delta }{4a}$

$q=-\frac{3}{4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}$

$q=-\frac{3}{-1}$

$q=3$

Zatem otrzymaliśmy, że wykres podanej funkcji ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(6,3\right).$

Zapiszmy wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

$f_3\left(x\right)=-\frac{1}{4}{\left(x-6\right)}^2+3$

---

Dana jest funkcja:

$f_4\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}$

Wypiszmy jej współczynniki.

$a=-\frac{1}{4}$

$b=-\frac{3}{2}$

$c=\frac{3}{4}$

Obliczmy jej wyróżnik.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta ={\left(-\frac{3}{2}\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{3}{4}$

$\Delta =\frac{9}{4}+\frac{3}{4}$

$\Delta =\frac{12}{4}$

$\Delta =3$

Zapiszmy ją w postaci kanonicznej. W tym celu obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej jej wykresem. 

$p=-\frac{b}{2a}$

$p=-\frac{-\frac{3}{2}}{2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}$

$p=-\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}$

$p=-\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{1}$

$p=-3$

$q=-\frac{\Delta }{4a}$

$q=-\frac{3}{4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}$

$q=-\frac{3}{-1}$

$q=3$

Zatem otrzymaliśmy, że wykres podanej funkcji ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(-3,3\right).$

Zapiszmy wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

$f_4\left(x\right)=-\frac{1}{4}{\left(x+3\right)}^2+3$

---

---

b)

Wykres funkcji $f_1$ ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(1,\frac{3}{2}\right),$ a więc jest to wykres zielony.

Wykres funkcji $f_2$ ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(-1,\frac{3}{2}\right),$ a więc jest to wykres niebieski.

Wykres funkcji $f_3$ ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(6,3\right),$ a więc jest to wykres fioletowy.

Wykres funkcji $f_4$ ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $\left(-3,3\right),$ a więc jest to wykres czerwony.