Postać kanoniczna funkcji kwadratowej Postać $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q,$ gdzie $a\ne 0$ funkcji kwadratowej nazywamy postacią kanoniczną. Współrzędne wierzchołka paraboli Funkcja $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ma wierchołek funkcji w punkcie o współrzędnych: $p=-\frac{b}{2a},q=-\frac{\Delta }{4a}$

---

a)

Dany jest trójmian kwadratowy:

$f\left(x\right)=x^2-6x-7$

Wypiszmy współczynniki trójmianu.

$a=1,b=-6,c=-7.$

Wyznaczmy wyróżnik kwadratowy.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-7\right)$

$\Delta =36+28$

$\Delta =64$

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli.

$x_w=-\frac{b}{2a}$

$x_w=-\frac{-6}{2\cdot 1}$

$x_w=\frac{6}{2}$

$x_w=3$

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}$

$y_w=-\frac{64}{4\cdot 1}$

$y_w=-16$

Współrzędne wierzchołka paraboli $W\left(3,-16\right).$

Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$

$f\left(x\right)=1{\left(x-3\right)}^2+\left(-16\right)$

$f\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2-16$

---

b)

Dany jest trójmian kwadratowy:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x-8$

Wypiszmy współczynniki trójmianu.

$a=\frac{1}{2},b=1,c=-8$

Wyznaczmy wyróżnik kwadratowy.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta =1^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-8\right)$

$\Delta =1+16$

$\Delta =17$

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli.

$x_w=-\frac{b}{2a}$

$x_w=-\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}$

$x_w=-\frac{1}{1}$

$x_w=-1$

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}$

$y_w=-\frac{17}{4\cdot \frac{1}{2}}$

$y_w=-\frac{17}{2}$

$y_w=-8\frac{1}{2}$

Współrzędne wierzchołka paraboli $W\left(-1,-8\frac{1}{2}\right).$

Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-\left(-1\right)\right)}^2+\left(-8\frac{1}{2}\right)$

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^2-8\frac{1}{2}$

---

c)

Dany jest trójmian kwadratowy:

$f\left(x\right)=-3x^2+6x+2$

WYpiszmy współczynniki trójmianu. 

$a=-3,b=6,c=2$

Wyznaczmy wyróżnik kwadratowy.

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta =6^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 2$

$\Delta =36+24$

$\Delta =60$

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli.

$x_w=-\frac{b}{2a}$

$x_w=-\frac{6}{2\cdot \left(-3\right)}$

$x_w=-\frac{6}{-6}$

$x_w=1$

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}$

$y_w=-\frac{60}{4\cdot \left(-3\right)}$

$y_w=-\frac{60}{-12}$

$y_w=5$

Współrzędne wierzchołka paraboli $W\left(1,5\right).$

Zapiszmy wzór funkcji w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$

$f\left(x\right)=-3{\left(x-1\right)}^2+5$