Dla $a,b\in \mathbb{R}$ oraz $n\in \mathbb{N}$ i $n\ge 2$ zachodzi następująca równość: $a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\text{...}+a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right)$

---

a)

Dla $n=4$ podany wzór przyjmuje postać:

$a^4-b^4=\left(a-b\right)\left(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3\right)$

Sprawdzamy prawdziwość powyższej równości:

$\left(a-b\right)\left(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3\right)=$

$=a\left(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3\right)-b\left(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3\right)=$

$=a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3-a^{3}b-a^2{b}^2-a{b}^3-b^4=a^4-b^4$

A więc wzór jest prawdziwy dla $n=4$, co należało uzasadnić.

---

b) 

Dla $n=5$ wzór przyjmuje postać:

$a^5-b^5=\left(a-b\right)\left(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4\right)$

Sprawdzamy prawdziwość powyższej równości:

$\left(a-b\right)\left(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4\right)=$

$=a\left(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4\right)-b\left(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4\right)=$

$=a^5+a^{4}b+a^3{b}^2+a^2{b}^3+a{b}^4-a^{4}b-a^3{b}^2-a^2{b}^3-a{b}^4-b^5=a^5-b^5$

A więc wzór jest prawdziwy dla $n=5$, co należało uzasadnić.