Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia Dla $a,b\in \mathbb{R}$ zachodzą następujące równości: ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\to$  sześcian sumy ${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\to$  sześcian różnicy

---

a)

Wykorzystując fakt, że ${\left(a-b\right)}^3={\left(a-b\right)}^2\left(a-b\right)$ wyprowadzimy wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy.

Na początku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

${\left(a-b\right)}^3={\left(a-b\right)}^2\left(a-b\right)=\left(a^2-2ab+b^2\right)\left(a-b\right)=$

$=a^3-a^{2}b-2a^{2}b+2a{b}^2+a{b}^2-b^3=$

$=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

---

b)

Wykorzystując fakt, że ${\left(a-b\right)}^3={\left(a+\left(-b\right)\right)}^3$ wyprowadzimy wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy:

${\left(a-b\right)}^3={\left(a+\left(-b\right)\right)}^3=$  

$=a^3+3a^2\cdot \left(-b\right)+3a\cdot {\left(-b\right)}^2+{\left(-b\right)}^3=$

$=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$