a)

Najdłuższy bok w tym trójkącie to $c=8.$ Obliczamy $\cos \gamma$ korzystając z twierdzenia cosinusów. 

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=$

$=\frac{6^2+7^2-8^2}{2\cdot 6\cdot 7}=$

$=\frac{36+49-64}{84}=$

$=\frac{21}{84}=\frac{1}{4}$

Otrzymaliśmy $\cos \gamma >0,$ zatem kąt $\gamma$ to kąt ostry.

Środek okręgu opisanego na tym trójkącie (jest to trójkąt ostrokątny) leży wewnątrz trójkąta.

---

b)

Najdłuższy bok w tym trójkącie to $a=10.$ Obliczamy $\cos \alpha$ korzystając z twierdzenia cosinusów. 

$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=$

$=\frac{7^2+5^2-10^2}{2\cdot 7\cdot 5}=$

$=\frac{49+25-100}{70}=$

$=-\frac{26}{70}=-\frac{13}{35}$

Otrzymaliśmy $\cos \alpha <0,$  zatem kąt $\alpha$ to kąt rozwarty.

Środek okręgu opisanego na tym trójkącie (jest to trójkąt rozwartokątny) nie leży wewnątrz trójkąta.

---

c)

Najdłuższy bok w tym trójkącie to $b=2\sqrt{2}.$ Obliczamy $\cos \beta$ korzystając  z twierdzenia cosinusów. 

$\cos \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=$

$=\frac{2^2+1^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}{2\cdot 2\cdot 1}=$

$=\frac{4+1-8}{4}=-\frac{3}{4}$

Otrzymaliśmy $\cos \beta <0,$ zatem kąt $\beta$ to kąt rozwarty.

Środek okręgu opisanego na tym trójkącie (jest to trójkąt rozwartokątny) nie leży wewnątrz trójkąta.

---

d)

Najdłuższy bok w tym trójkącie to $a=4.$ Obliczamy $\cos \alpha$ korzystają z twierdzenia cosinusów.  

$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=$

$=\frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2-4^2}{2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2}=$

$=\frac{12+4-16}{8\sqrt{3}}=$

$=\frac{0}{8\sqrt{3}}=0$

zatem

$\alpha =90^{\circ }$

Wnioskujemy, że jest to trójkąt prostokątny. 

Środek okręgu opisanego na tym trójkącie (jest to trójkąt prostokątny) nie leży wewnątrz trójkąta (leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta).