Oznaczmy przez $\alpha$ miarę kąta między bokami  $a$ i $b.$

---

a)

Pole trójkąta o bokach $a$ i $b$ i kącie o mierze $\alpha$ między tymi bokami wynosi

$P=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$

zatem

$12=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 10\sin \alpha$

$12=20\sin \alpha |:20$

$\sin \alpha =\frac{12}{20}$

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{9}{25}+{\cos }^2\alpha =1|-\frac{9}{25}$

${\cos }^2\alpha =\frac{16}{25}$

$\begin{array}{ccc}\cos \alpha =\frac{4}{5}& \text{lub}& \cos \alpha =-\frac{4}{5}\end{array}$

Rozpatrzmy dwa przypadki.

Przypadek I

$\cos \alpha =\frac{4}{5}$

Z twierdzenia cosinusów dostajemy

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \alpha$

$c^2=4^2+10^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \frac{4}{5}$

$c^2=16+100-64$

$c^2=52|\sqrt{},c>0$

$c=\sqrt{52}$

$c=\sqrt{4\cdot 13}$

$c=2\sqrt{13}$

Przypadek II

$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$

Z twierdzenia cosinusów dostajemy

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \alpha$

$c^2=4^2+10^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)$

$c^2=16+100+64$

$c^2=180|\sqrt{},c>0$

$c=\sqrt{180}$

$c=\sqrt{36\cdot 5}$

$c=6\sqrt{5}$

---

b)

Pole trójkąta o bokach $a$ i $b$ i kącie o mierze $\alpha$ między tymi bokami wynosi

$P=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$

zatem

$10\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \sin \alpha$

$10\sqrt{2}=15\sin \alpha |:15$

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{8}{9}+{\cos }^2\alpha =1|-\frac{8}{9}$

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{9}$

$\begin{array}{ccc}\cos \alpha =\frac{1}{3}& \text{lub}& \cos \alpha =-\frac{1}{3}\end{array}$

Przypadek I

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$

Wtedy z twierdzenia cosinusów dostajemy

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \alpha$

$c^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{1}{3}$

$c^2=25+36-20$

$c^2=41|\sqrt{},c>0$

$c=\sqrt{41}$

Przypadek II

$\cos \alpha =-\frac{1}{3}$

Wtedy z twierdzenia cosinusów dostajemy

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \alpha$

$c^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$

$c^2=25+36+20$

$c^2=81|\sqrt{},c>0$

$c=9$