Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Zauważmy, że trójkąt $IAH$ oraz trójkąt $BJC$ są trójkątami prostokątnymi, równoramiennym, a zatem są połową kwadratu o przekątnej długości $a.$ Obliczamy długość boku kwadratu korzystając ze wzoru na długość przekątnej.

$a=\left|BJ\right|\sqrt{2}$

zatem

$\left|BJ\right|=\left|IA\right|=\frac{a}{\sqrt{2}}=$

$=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Wobec tego

$\left|HC\right|=\left|IA\right|+\left|AB\right|+\left|BJ\right|=$

$=\frac{a\sqrt{2}}{2}+a+\frac{a\sqrt{2}}{2}=$

$=\frac{2a\sqrt{2}}{2}+a=$

$=a\sqrt{2}+a$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $HCD$ dostajemy

${\left|HC\right|}^2+{\left|CD\right|}^2={\left|HD\right|}^2$

${\left(a\sqrt{2}+a\right)}^2+a^2={\left(2R\right)}^2$

$2a^2+2a^2\sqrt{2}+a^2+a^2=4R^2$

$4R^2=4a^2+2a^2\sqrt{2}|:4$

$R^2=a^2+\frac{1}{2}{a}^2\sqrt{2}$

$R^2=\frac{1}{2}{a}^2\left(2+\sqrt{2}\right)|\sqrt{},R>0$

$R=a8\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$R=a\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$R=a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$R=\frac{1}{2}a\sqrt{2\left(2+\sqrt{2}\right)}$

$R=\frac{1}{2}a\sqrt{4+2\sqrt{2}}$

co należało uzasadnić.