a)

Obliczmy długość boku sześciokąta foremnego o polu $P=150\sqrt{3}.$ Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a,$ zatem

$P=150\sqrt{3}$

$6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=150\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$\frac{6}{4}{a}^2=150|\cdot \frac{4}{6}$

$a^2=100|\sqrt{},a>0$

$a=10$

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ma tę samą długość, co bok tego sześciokąta. Zatem otrzymujemy

$R=10$

Obliczmy długość tego okręgu.

$l=2\pi R=$

$=2\pi \cdot 10=$

$=20\pi$

---

b)

Z treści zadania wiemy, że pole koła o promieniu $R$ jest równe

$P_1=32\pi$

zatem

$\pi R^2=32\pi |:\pi$  

$R^2=32|\sqrt{},R>0$

$R=\sqrt{32}$

$R=\sqrt{16\cdot 2}$

$R=4\sqrt{2}$

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ma tę samą długość, co bok tego sześciokąta. Zatem mamy

$a=4\sqrt{2}$

Obliczamy pole tego sześciokąta.

$P=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=$

$=3\cdot \frac{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2\sqrt{3}}{2}=$

$=3\cdot \frac{16\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{2}=$

$=48\sqrt{3}$