Naszkicujmy rysunek pomocniczy.

Niech prosta $a$ będzie dwusieczną kąta $BAC,$ natomiast prosta $b$ niech będzie dwusieczną kąta $ABC.$

Skoro

$\left|\sphericalangle BAC\right|+\left|\sphericalangle ABC\right|<180^{\circ }$

to prosta $a$ i $b$ przecinają się w jednym punkcie. Niech $O$ będzie puntem przecięcia prostych $a$ i $b.$ Punkty $D,E,F$ są rzutami prostokątnymi punktu $O$ na boki trójkąta $ABC$ jak zaznaczono na rysunku powyżej.

Skoro punkt $O$ należy do dwusiecznej kąta $BAC,$ to 

$\left|OD\right|=\left|OF\right|$

Natomiast z tego, że punkt $O$ należy do dwusiecznej kąta $ABC$ wnioskujemy, że

$\left|OD\right|=\left|OE\right|$

Wobec powyższe dostajemy, że

$\left|OF\right|=\left|OE\right|$

Na podstawie powyższych rozważań i zgodnie z tym, że dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem punktów równoodległych od ramion tego kąta wnioskujemy, że punkt $O$ należy do dwusiecznej kąta $ACB.$ Na podstawie tego wnioskujemy, że dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, co należało udowodnić.