Zauważmy, że, jeśli $\left|\sphericalangle CAP\right|=\alpha$, to:

$\left|\sphericalangle ACP\right|=90^{\circ }-\alpha$

Wtedy:

$\left|\sphericalangle PCB\right|=\alpha$

$\left|\sphericalangle PBC\right|=90^{\circ }-\alpha$

Więc trójkąty $APC$ i $CPB$ są podobne z cechy kąt-kąt-kąt. Możemy więc zapisać:

$\frac{2}{\left|CP\right|}=\frac{\left|CP\right|}{8}$

$16={\left|CP\right|}^2$

$\left|CP\right|=4$

---

Obliczmy teraz długości boków $BC$ i $CA$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Mamy:

$4^2+8^2={\left|B{C}^{}\right|}^2$

${\left|BC\right|}^2=16+64=80$

$\left|BC\right|=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$

$4^2+2^2={\left|AC\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2=16+4=20$

$\left|AC\right|=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$

Możemy teraz obliczyć obwód trójkąta $ABC$:

$Ob=\left|AC\right|+\left|AB\right|+\left|BC\right|=2\sqrt{5}+4\sqrt{5}+10=$

$=6\sqrt{5}+10$

---

Teraz obliczmy sinus kąta $ABC$ i cosinus kąta $ACP$:

$\sin \left|\sphericalangle ABC\right|=\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \left|\sphericalangle ACP\right|=\frac{\left|PC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

---

Uzupełnijmy zdania:

Długość boku $BC$: $4\sqrt{5}$.

Obwód trójkąta $ABC$: $6\sqrt{5}+10$.

Sinus kąta $ABC$: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Cosinus kąta $ACP$: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.