a)

Z treści zadania wiemy, że  $\left|BO\right|=1$  

Rozważmy trójkąt $BCO$. Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle OBC\right|=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$

$\cos \alpha =\frac{\left|BO\right|}{\left|CO\right|}$    

$\cos \alpha =\frac{1}{\left|CO\right|}$

Więc:

$\left|CO\right|=\frac{1}{\cos \alpha }$  

Co należało uzasadnić.

---

b)

Z treści zadania wiemy, że  $\left|BO\right|=1$  

Rozważmy trójkąt $BDO$. Kąt $BDO$ to kąt prosty, więc:

$\sin \alpha =\frac{\left|BD\right|}{\left|BO\right|}$  

$\sin \alpha =\left|BD\right|$  

Zatem:

$\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{1}{\left|BD\right|}$  

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle AOB\right|=90^{\circ }-\alpha$ 

$\left|\sphericalangle BAO\right|=180^{\circ }-90^{\circ }-\left(90^{\circ }-\alpha \right)=\alpha$ 

Dodatkowo widzimy, że

$\left|\sphericalangle OBD\right|=180^{\circ }-90^{\circ }-\alpha =80^{\circ }-\alpha =\left|\sphericalangle AOB\right|$

Pokazaliśmy, że trójkąty $OBD$ i $ABO$ mają równe kąty, czyli są podobne z cechy kąt-kąt-kąt.

Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy:

$\frac{\left|BO\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\left|AO\right|}{\left|BO\right|}$  

$\frac{1}{\left|BD\right|}=\frac{\left|AO\right|}{1}$

$\frac{1}{\sin \alpha }=\left|AO\right|$

Co należało pokazać.