a)

Rozwiązujemy nierówność.

$\left|x-2\right|-3x>1$

Rozpatrzymy dwa przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$x-2<0$

$x<2$

czyli 

$x\in \left(-\infty ,2\right)$

Wtedy nierówność możemy zapisać w postaci

$-x+2-3x>1$

$-4x>-1|:\left(-4\right)$

$x<\frac{1}{4}$

$x\in \left(-\infty ,\frac{1}{4}\right)$

Przypadek II

Zakładamy, że

$x-2⩾0$

$x⩾2$

czyli

$x\in \left[2,\infty \right)$

Wtedy nierówność można zapisać w postaci

$x-2-3x>1$

$-2x>3|:\left(-2\right)$

$x<-\frac{3}{2}$

Zauważamy, że otrzymane rozwiązanie nie ma części wspólnej z przedziałem z założenia. Zatem nierówność jest sprzeczna.

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ,\frac{1}{4}\right)}}$

---

b)

Rozwiązujemy nierówność.

$\left|2x+6\right|+x⩽3$

Rozpatrzymy dwa przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$2x+6<0$

$2x<-6|:2$

$x<-3$

czyli 

$x\in \left(-\infty ,-3\right)$

Wtedy nierówność możemy zapisać w postaci

$-2x-6+x⩽3$

$-x⩽9|\cdot \left(-1\right)$

$x⩾-9$

Uwzględniając założenie dostajemy

$\left[-9,-3\right)$

Przypadek II

Zakładamy, że

$2x+6⩾0$

$2x⩾-6|:2$

$x⩾-3$

czyli

$x\in \left[-3,\infty \right)$

Wtedy nierówność można zapisać w postaci

$2x+6+x⩽3$

$3x⩽-3|:3$

$x⩽-1$

Uwzględniając założenie dostajemy

$x\in \left[-3,-1\right]$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left[-9,-1\right]}}$

---

c)

Rozwiązujemy nierówność.

$\left|x-5\right|<x+5$

Rozpatrzymy dwa przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$x-5<0$

$x<5$

czyli 

$x\in \left(-\infty ,5\right)$

Wtedy nierówność możemy zapisać w postaci

$-x+5<x+5$

$-2x<0|:\left(-2\right)$

$x>0$

Uwzględniając założenie dostajemy

$x\in \left(0,5\right)$

Przypadek II

Zakładamy, że

$x-5⩾0$

$x⩾5$

czyli

$x\in \left[5,\infty \right)$

Wtedy nierówność można zapisać w postaci

$x-5<x+5$

$-5<5$

Powyższa nierówność jest tożsamościowa, zatem

$x\in \left[5,\infty \right)$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left(0,\infty \right)}}$

---

d)

Rozwiązujemy nierówność.

$\left|6+x\right|⩾2x+6$

Rozpatrzymy dwa przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$6+x<0$

$x<-6$

czyli 

$x\in \left(-\infty ,-6\right)$

Wtedy nierówność możemy zapisać w postaci

$-6-x⩾2x+6$

$-3x⩾12|:\left(-3\right)$

$x⩽-4$

Uwzględniając założenie dostajemy

$x\in \left(-\infty ,-6\right)$

Przypadek II

Zakładamy, że

$6+x⩾0$

$x⩾-6$

czyli

$x\in \left[-6,\infty \right)$

Wtedy nierówność można zapisać w postaci

$6+x⩾2x+6$

$-x⩾0|\cdot \left(-1\right)$

$x⩽0$

Uwzględniając założenie dostajemy

$x\in \left[-6,0\right]$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ,0\right]}}$

---

e)

Rozwiązujemy nierówność.

$\left|3-x\right|⩽x-\left|2x-6\right|$

$\left|-\left(x-3\right)\right|⩽x-\left|2\left(x-3\right)\right|$

$\left|x-3\right|⩽x-2\left|x-3\right|$

$3\left|x-3\right|⩽x$

Rozpatrzymy dwa przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$x-3<0$

$x<3$

czyli 

$x\in \left(-\infty ,3\right)$

Wtedy nierówność możemy zapisać w postaci

$3\left(-x+3\right)⩽x$

$-3x+9⩽x$

$-4x⩽-9|:\left(-4\right)$

$x⩾\frac{9}{4}$

Uwzględniając założenie dostajemy

$x\in \left[\frac{9}{4},3\right)$

Przypadek II

Zakładamy, że

$x-3⩾0$

$x⩾3$

czyli

$x\in \left[3,\infty \right)$

Wtedy nierówność można zapisać w postaci

$3\left(x-3\right)⩽x$

$3x-9⩽x$

$2x⩽9|:2$

$x⩽\frac{9}{2}$

Uwzględniając założenie dostajemy

$x\in \left[3,\frac{9}{2}\right]$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left[\frac{9}{4},\frac{9}{2}\right]}}$

---

f)

Rozwiązujemy nierówność.

$x\left|1-x\right|⩽x+x^2$

Rozpatrzymy dwa przypadki.

Przypadek I

Zakładamy, że

$1-x<0$

$x>1$

czyli 

$x\in \left(1,\infty \right)$

Wtedy nierówność możemy zapisać w postaci

$x\left(-1+x\right)⩽x+x^2$

$-x+x^2⩽x+x^2$

$-2x⩽0|:\left(-2\right)$

$x⩾0$

Uwzględniając założenie dostajemy

$x\in \left(1,\infty \right)$

Przypadek II

Zakładamy, że

$1-x⩾0$

$x⩽1$

czyli

$x\in \left(-\infty ,1\right]$

Wtedy nierówność można zapisać w postaci

$x\left(1-x\right)⩽x+x^2$

$x-x^2⩽x+x^2$

$-2x^2⩽0$

$x^2⩾0$

Powyższa nierówność jest spełniona dla każdego $x$ będącego liczbą rzeczywistą.

Uwzględniając założenie dostajemy

$x\in \left(-\infty ,1\right]$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{x\in \mathbb{R}}}$