Rosnący ciąg arytmetyczny...- Zadanie 12.61: Matematyka. Zbiór zadań maturalnych. Lata 2010-2024. Poziom podstawowy

Rozwiązanie

Ciąg arytmetyczny

Załóżmy, że mamy dany ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ .

$n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$

Sumę $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru:

$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) \cdot r}{2} \cdot n$

Ciąg geometryczny

Załóżmy, że $b_{n}$ , $b_{n + 1}$ , $b_{n + 2}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wtedy spełniona jest zależność

$(b_{n + 1})^{2} = b_{n} \cdot b_{n + 2}$

Wiemy, że w rosnącym ciągu arytmetycznym zachodzi

$S_{5} = 10$ ,
ciąg $b_{1} = a_{3}$ , $b_{2} = a_{5}$ , $b_{3} = a_{13}$ jest geometryczny.

Chcemy wyznaczyć $n$ -ty wyraz ciągu. Rozpiszmy sumę $S_{10}$ , korzystając ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$\frac{2 a _{1} + 4 \cdot r}{2} \cdot 10 = 10$

Zapiszmy wyrazy ciągu $b_{n}$ , korzystając ze wzoru na $n$ -ty element ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ :

$b_{1} = a_{3} = a_{1} + 2 r$

$b_{2} = a_{5} = a_{1} + 4 r$

$b_{3} = a_{13} = a_{1} + 12 r$

Następnie zapiszmy zależność, którą spełniają trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego:

$(b_{2})^{2} = b_{1} \cdot b_{3} \Leftrightarrow (a_{1} + 4 r)^{2} = (a_{1} + 2 r) (a_{1} + 12 r)$

Wyznaczymy wyraz $a_{1}$ i różnicę $r$ , rozwiązując układ równań

${\frac{2 a _{1} + 4 r}{2} \cdot 5 = 10 ∣ : 5 (a_{1} + 4 r)^{2} = (a_{1} + 2 r) (a_{1} + 12 r)$

${\frac{2 a _{1} + 4 r}{2} = 2 ∣ \cdot 2 (a_{1})^{2} + 2 \cdot a_{1} \cdot 4 r + (4 r)^{2} = (a_{1})^{2} + 2 r a_{1} + 12 r a_{1} + 24 r^{2}$

${2 a_{1} + 4 r = 4 8 r a_{1} + 16 r^{2} = 14 r a_{1} + 24 r^{2}$

${2 a_{1} + 4 r = 4 - 6 r a_{1} = 8 r^{2}$

Ciąg $(a_{n})$ jest rosnący, co oznacza, że jego różnica $r$ jest dodatnia (czyli różna od $0$ ). To oznacza, że możemy podzielić drugie równanie stronami przez $2 r$ :

${2 a_{1} + 4 r = 4 - 3 a_{1} = 4 r$

${2 a_{1} - 3 a_{1} = 4 - 3 a_{1} = 4 r$

${- a_{1} = 4 - 3 a_{1} = 4 r$

${a_{1} = - 4 4 r = - 3 \cdot (- 4) = 24$

${a_{1} = - 4 r = 3$

Znając pierwszy wyraz i różnicę ciągu, wyznaczymy wzór na $n$ -ty wyraz ciągu:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r = - 4 + (n - 1) \cdot 3 = - 4 + 3 n - 3 = 3 n - 7$

Odpowiedź: $a_{n} = 3 n - 7$

Bogna Pawlus

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.