Treść:

Wykaż, że:

$\frac{1}{{\log }_{2}35+1}+\frac{1}{{\log }_{7}140-{\log }_{7}2}+\frac{1}{{\log }_{5}7+{\log }_{5}2+1}=1$

---

Rozwiązanie:

Skorzystajmy z własności logarytmów:

${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(b\cdot c\right)$

${\log }_{a}b-{\log }_{b}c={\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)$

$1={\log }_{a}a$

Dla $a_{}>0,a\ne 1,b>0,c>0$

Przekształćmy lewą część danego równania:

$\frac{1}{{\log }_{2}35+1}+\frac{1}{{\log }_{7}140-{\log }_{7}2}+\frac{1}{{\log }_{5}7+{\log }_{5}2+1}=$

$=\frac{1}{{\log }_{2}35+{\log }_{2}2}+\frac{1}{{\log }_7\left(140:2\right)}+\frac{1}{{\log }_5\left(7\cdot 2\right)+{\log }_{5}5}=$

$=\frac{1}{{\log }_2\left(35\cdot 2\right)}+\frac{1}{{\log }_{7}70}+\frac{1}{{\log }_5\left(14\cdot 5\right)}=$

$=\frac{1}{{\log }_{2}70}+\frac{1}{{\log }_{7}70}+\frac{1}{{\log }_{5}70}=\dots$

---

Zamieńmy podstawy logarytmów. Przypomnijmy:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

A więc:

${\log }_{2}70=\frac{{\log }_{70}70}{{\log }_{70}2}=\frac{1}{{\log }_{70}2}$

 ${\log }_{7}70=\frac{{\log }_{70}70}{{\log }_{70}7}=\frac{1}{{\log }_{70}7}$

${\log }_{5}70=\frac{{\log }_{70}70}{{\log }_{70}5}=\frac{1}{{\log }_{70}5}$

---

Wróćmy do początkowego działania:

$\dots =\frac{1}{\frac{1}{{\log }_{70}2}}+\frac{1}{\frac{1}{{\log }_{70}7}}+\frac{1}{\frac{1}{{\log }_{70}5}}=$

$={\log }_{70}2+{\log }_{70}7+{\log }_{70}5=$

$={\log }_{70}\left(2\cdot 7\cdot 5\right)={\log }_{70}70=1$, co należało wykazać.