Treść:

W pewnej lokalnej społeczności $35\%$ osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada $70\%$ osób mających wyższe wykształcenie i $40\%$ osób bez wyższego wykształcenia.

Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Aby obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrana osoba ma wyższe wykształcenie, wiedząc, że dobrze włada językiem niemieckim, skorzystamy z twierdzenia Bayesa:

$P\left(W|N\right)=\frac{P\left(N|W\right)\cdot P\left(W\right)}{P\left(N\right)}$

gdzie:

$W$ - wybrana osoba ma wyższe wykształcenie

$N$ - wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim

Z treści zadania wiemy, że:

$P\left(W\right)=35\%=\frac{35}{100}$ (prawdopodobieństwo, że osoba ma wyższe wykształcenie)

$P\left(W^{\prime }\right)=1-P\left(W\right)=1-\frac{35}{100}=\frac{65}{100}$ (prawdopodobieństwo, że osoba nie ma wyższego wykształcenia)

$P\left(N|W\right)=70\%=\frac{7}{10}$ (prawdopodobieństwo, że osoba dobrze włada językiem niemieckim, jeśli ma wyższe wykształcenie)

$P\left(N|W^{\prime }\right)=40\%=\frac{4}{10}$ (prawdopodobieństwo, że osoba dobrze włada językiem niemieckim, jeśli nie ma wyższego wykształcenia)

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim:

$P\left(N\right)=P\left(N|W\right)\cdot P\left(W\right)+P\left(N|W^{\prime }\right)\cdot P\left(W^{\prime }\right)=$

$=\frac{7}{10}\cdot \frac{35}{100}+\frac{4}{10}\cdot \frac{65}{100}=\frac{245}{1000}+\frac{260}{1000}=\frac{505}{1000}$

Teraz możemy obliczyć szukane prawdopodobieństwo:

$P\left(W|N\right)=\frac{P\left(N|W\right)\cdot P\left(W\right)}{P\left(N\right)}=\frac{\frac{7}{10}\cdot \frac{35}{100}}{\frac{505}{1000}}=\frac{245}{1000}\cdot \frac{1000}{505}=\frac{245}{505}\approx \underline{0,49}$

---

Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim, wynosi $0,49$.