Treść:

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy $12\sqrt{3}$. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe $12\pi \left(\sqrt{3}+1\right)$.

Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

 

Skoro iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy $12\sqrt{3}$, to możemy zapisać:

$d\cdot h=12\sqrt{3}$

Ponadto wiemy, że pole powierzchni całkowitej tego walca wynosi $12\pi \left(\sqrt{3}+1\right)$, a więc możemy zapisać:

$P_c=12\pi \left(\sqrt{3}+1\right)$

$2\pi r\left(r+h\right)=12\pi \left(\sqrt{3}+1\right)|:2\pi$

$r\left(r+h\right)=6\left(\sqrt{3}+1\right)$

$r^2+rh=6\sqrt{3}+6$

Długość promienia okręgu to połowa długości jego średnicy, czyli $r=\frac{1}{2}d$zatem:

$r^2+\frac{1}{2}\underset{12\sqrt{3}}{\underbrace{d\cdot h}}=6\sqrt{3}+6$

$r^2+\frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{3}=6\sqrt{3}+6$

$r^2+6\sqrt{3}=6\sqrt{3}+6|-6\sqrt{3}$

$r^2=6|\sqrt{},r>0$

$r=\sqrt{6}$

Wtedy:

$d=2r=2\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{6}$

Obliczmy długość wysokości tego walca. Mamy:

$d\cdot h=12\sqrt{3}$

$2\sqrt{6}\cdot h=12\sqrt{3}|:2\sqrt{6}$

$h=\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}$

Usuńmy niewymierność z mianownika:

$h=\frac{6}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

Obliczmy objętość tego walca:

$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot {\left(\sqrt{6}\right)}^2\cdot 3\sqrt{2}=\pi \cdot 6\cdot 3\sqrt{2}=18\pi \sqrt{2}$

---

Odp. Objętość tego walca wynosi $18\pi \sqrt{2}$.