Treść:

Okrąg $O$ jest styczny do boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ oraz przecina bok $AB$ tego trójkąta w punktach $M$ oraz $N$, przy czym $0<\left|AM\right|<\left|AN\right|<\left|AB\right|$.

Wykaż, że jeśli $\left|AM\right|=\left|BN\right|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

---

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

Wiemy, że $\left|CE\right|=\left|CD\right|$, co wynika z twierdzenia o odcinkach stycznych.

Niech $\left|CE\right|=\left|CD\right|=a$.

Rysunek do zadania:

Musimy teraz zauważyć coś, co stworzy nam zależność między lewą i prawa stroną tego trójkąta.

Zauważmy, że prosta przechodząca przez punkty $A$ i $C$  oraz prosta przechodząca przez punkty $B$ i $C$  to styczne do okręgu, a prosta przechodzą przez punkty $A$ i $B$ jest jego sieczną.

Skorzystamy teraz z twierdzenia o odcinkach stycznej i siecznej najpierw po lewej, a potem po prawej stronie trójkąta, czyli najpierw dla stycznej w punkcie $E$, a potem dla stycznej w punkcie $D$.

Mamy

$\{\begin{array}{l}\left|AM\right|\cdot \left|AN\right|={\left|AE\right|}^2\\ \left|BN\right|\cdot \left|BM\right|={\left|BD\right|}^2\end{array}$ 

Zauważmy, że

$\left|AN\right|=\left|BM\right|=x+y$

$\{\begin{array}{l}x\cdot \left(x+y\right)={\left|AE\right|}^2\\ x\cdot (x+y)={\left|BD\right|}^2\end{array}$

Więc

${\left|AE\right|}^2={\left|BD\right|}^2$

$\left|AE\right|,\left|BD\right|>0$

$\left|AE\right|=\left|BD\right|$

 Zatem

$\left|AC\right|=\left|AE\right|+a$

$\left|BC\right|=\left|BD\right|+a=\left|AE\right|+a$

Więc

$\left|AC\right|=\left|BC\right|$

Więc trójkąt $ABC$ jest trójkątem równoramiennym, co należało wykazać.