Informacja do zadania

Funkcja 𝑓 jest określona wzorem $f\left(x\right)=\frac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in \left(-\infty ;8\right)$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$,
w których:

• wierzchołek $O$ ma współrzędne $\left(0,0\right)$
• wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią – odpowiednio – $Ox$ i $Oy$
• wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$

(zobacz rysunek)

---

Treść:

Pole $P$ czworokąta $OBCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej $x$ punktu $C$ jest określone wzorem
$P\left(x\right)=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8}$
dla $x\in \left(0,7\right)$.
Oblicz współrzędne wierzchołka $C$, dla których pole czworokąta $OBCD$ jest największe. Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Rozważmy funkcję $P$ opisującą pole czworokąta $OBCD$ dla $x\in \left(0,7\right)$, czyli:

$P\left(x\right)=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8}$

Aby znaleźć takie $x$, że pole tego czworokąta jest największe, obliczmy pochodną funkcji $P$ korzystając z wzoru na pochodną ilorazu. Mamy:

$P^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8}\right)}^{\prime }=\frac{21}{4}{\left(\frac{x^2-56}{x-8}\right)}^{\prime }=$