Dany jest trapez równoramienny ABCD, gdzie A=(0, -4), B=(x_B, y_B), C=(x_C, y_C) oraz D=(-3, 0). 

Podstawa AB tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu 2x-y=4.

Prosta o równaniu x+2y-2=0 jest osią symetrii tego trapezu. 

---

a)

Wyznaczymy współrzędne wierzchołka B tego trapezu.

Wyznaczmy współrzędne środka S_AB podstawy AB tego trapezu. Punkt S_AB jest punktem przecięcia podanych prostych. Mamy stąd:

$\{\begin{array}{l}2x-y=4\\ x+2y-2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ x+2\left(2x-4\right)-2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ x+4x-8-2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ 5x=10\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2\cdot 2-4\\ x=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=0\\ x=2\end{array}$  

czyli

$\underline{S_{AB}=\left(2,0\right)}$  

Wiedząc, że punkt S_AB=(2, 0) jest środkiem podstawy AB tego trapezu mamy:

$\frac{0+x_B}{2}=2\left|\cdot 2\wedge \frac{-4+y_B}{2}=0\right|\cdot 2$

$0+x_B=4-4+y_B=0$

$x_B=4y_B=4$

czyli

$\underline{\underline{B=\left(4,4\right)}}$     

---

Wyznaczymy współrzędne wierzchołka C tego trapezu.

Prosta zawierająca bok CD tego trapezu jest równoległa do prostej AB, więc CD: y=2x+b. 

Punkt D należy do tej prostej, więc mamy:

$0=2\cdot \left(-3\right)+b\Rightarrow b=6$

więc

$\underline{CD:y=2x+6}$   

Wyznaczmy współrzędne środka S_CD podstawy CD tego trapezu. Punkt S_CD jest punktem przecięcia prostej CD z osią symetrii tego trapezu. Mamy stąd:

$\{\begin{array}{l}y=2x+6\\ x+2\left(2x+6\right)-2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+6\\ x+4x+12-2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+6\\ 5x=-10\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2\cdot \left(-2\right)+6\\ x=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2\\ x=-2\end{array}$  

czyli

$\underline{S_{CD}=\left(-2,2\right)}$  

Wiedząc, że punkt S_CD=(-2, 2) jest środkiem podstawy CD tego trapezu mamy:

$\frac{x_C-3}{2}=-2\left|\cdot 2\wedge \frac{y_C+0}{2}=2\right|\cdot 2$  

$x_C-3=-4y_C=4$  

$x_C=-1$

więc

$\underline{\underline{C=\left(-1,4\right)}}$

Pozostałymi wierzchołkami tego trapezu są punkty B=(4, 4) oraz C=(-1, 4). 

---

---

b) 

Wyznaczymy równanie okręgu opisanego na tym trapezie.

Środek S tego okręgu leży na osi symetrii x+2y-2=0 tego trapezu. Mamy:

$x+2y-2=0\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x+1$  

więc

$S=\left(x,-\frac{1}{2}x+1\right)$  

Skoro okrąg ten opisany jest na tym trapezie to wiemy, że

$\left|AS\right|=\left|CS\right|$

czyli

$\sqrt{{\left(x-0\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}x+1+4\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}x+1-4\right)}^2}{\mid }^2$   

${\left(x-0\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}x+1+4\right)}^2={\left(x+1\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}x+1-4\right)}^2$  

$x^2+{\left(5-\frac{1}{2}x\right)}^2={\left(x+1\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}x-3\right)}^2$  

$x^2+25-5x+\frac{1}{4}{x}^2=x^2+2x+1+\frac{1}{4}{x}^2+3x+9$  

$25-5x=5x+10$

$-10x=-15\mid :\left(-10\right)$

$x=\frac{3}{2}$

więc

$y=-\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}+1=\frac{1}{4}$

zatem

$\underline{S=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{4}\right)}$

Wyznaczmy długość promienia r tego okręgu. Mamy:

$r=\left|AS\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}-0\right)}^2+{\left(\frac{1}{4}+4\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{17}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{289}{16}}=\sqrt{\frac{325}{16}}$       

Zapiszmy równanie tego okręgu. Mamy:

$\underline{\underline{{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{325}{16}}}$