Dany jest trójkąt ABC, gdzie A=(1, -3), B=(4, 2) i C=(x_C, y_C). 

---

Wiedząc, że punkt D=(1, -1) jest środkiem ciężkości tego trójkąta mamy:

$\frac{1+4+x_C}{3}=1\left|\cdot 3\wedge \frac{-3+2+y_C}{3}=-1\right|\cdot 3$

$5+x_C=3-1+y_C=-3$

$x_C=-2y_C=-2$

czyli

$\underline{\underline{C=\left(-2,-2\right)}}$     

---

Wyznaczmy równanie prostej postaci y=ax+b przechodzącej przez punkty A i B. Mamy stąd układ równań:

$\{\begin{array}{l}-3=a+b\\ 2=4a+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-3-b\\ 2=4\left(-3-b\right)+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-3-b\\ 2=-12-4b+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-3-b\\ 14=-3b\mid :\left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-3+\frac{14}{3}\\ b=-\frac{14}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{3}\\ b=-\frac{14}{3}\end{array}$  

$y=\frac{5}{3}x-\frac{14}{3}$

więc

$\underline{AB:5x-3y-14=0}$     

---

Wyznaczmy długość wysokości h tego trójkąta (opuszczonej na bok AB), czyli odległość punktu C=(-2, -2) od prostej AB. Mamy:

$h=\frac{\left|5\cdot \left(-2\right)-3\cdot \left(-2\right)-14\right|}{\sqrt{5^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{\left|-10+6-14\right|}{\sqrt{25+9}}=\frac{18}{\sqrt{34}}$

Wyznaczmy długość podstawy AB tego rombu. Mamy:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(2+3\right)}^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$

---

Wyznaczamy pole tego trójkąta. Mamy:

$P=\frac{\sqrt{34}\cdot \frac{18}{\sqrt{34}}}{2}=\frac{18}{2}=\underline{\underline{9}}$