Objętość dowolnego graniastosłupa wyraża się za pomocą wzoru: $V=P_p\cdot H$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy tego graniastosłupa, a H - długością jego wysokości.

 

Rysunek:

Korzystając z odpowiedniego wzoru na pole trójkąta, wyznaczymy pole powierzchni podstawy. Mamy: 

$P_p=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sin {30}^{\circ }=6\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=3\sqrt{3}$  

---

Korzystając z twierdzenia cosinusów mamy:

$x^2=6^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 6\cdot 2\sqrt{3}\cdot \cos {30}^{\circ }$  

$x^2=36+12-24\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x^2=36+12-36$   

$x^2=12\wedge x>0$

$x=2\sqrt{3}$   

---

Wyznaczmy pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Mamy:

$P_b=6H+2\sqrt{3}H+2\sqrt{3}H=6H+4\sqrt{3}H$

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Mamy:

$P_c=2P_p+P_b=2\cdot 3\sqrt{3}+6H+4\sqrt{3}H=6\sqrt{3}+6H+4\sqrt{3}H$   

Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest dwa razy większe niż pole powierzchni bocznej. Stąd mamy równanie:

$6\sqrt{3}+6H+4\sqrt{3}H=2\left(6H+4\sqrt{3}H\right)\mid :2$  

$3\sqrt{3}+3H+2\sqrt{3}H=6H+4\sqrt{3}H$  

$3\sqrt{3}=3H+2\sqrt{3}H$

$\left(3+2\sqrt{3}\right)H=3\sqrt{3}\mid :\left(3+2\sqrt{3}\right)$

$H=\frac{3\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}$    

$H=\frac{3\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}\cdot \frac{3-2\sqrt{3}}{3-2\sqrt{3}}$

$H=\frac{9\sqrt{3}-18}{9-12}$

$H=\frac{9\sqrt{3}-18}{-3}$  

$H=-3\sqrt{3}+6$

$H=6-3\sqrt{3}$   

---

Wyznaczmy objętość tego graniastosłupa. Mamy:

$V=P_p\cdot H=3\sqrt{3}\left(6-3\sqrt{3}\right)=18\sqrt{3}-27=\underline{\underline{9\left(2\sqrt{3}-3\right)}}$