Pole powierzchni kuli o promieniu r wyraża się wzorem: $P=4\pi r^2$ Objętość kuli o promieniu r wyraża się wzorem: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

 

Dana jest kula o środku w punkcie O i promieniu długości R. Kulę przecięto płaszczyzną i w przekroju otrzymano koło o środku w punkcie S i promieniu długości r. 

---

a)

Rysunek:

Wiedząc, że pole przekroju będącego kołem wynosi 25𝜋. Mamy zatem:

$\pi r^2=25\pi \mid :\pi$

$r^2=25\wedge r>0$   

$r=5$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OAS mamy:

$R^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2+5^2$

$R^2=2+25$

$R^2=27\wedge R>0$

$R=3\sqrt{3}$     

Wyznaczmy objętość tej kuli. Mamy:

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot {\left(3\sqrt{3}\right)}^2=\frac{4}{3}\pi \cdot 27\cdot 3\sqrt{3}=\underline{\underline{108\sqrt{3}\pi }}$  

---

b)

Rysunek:

Wiemy, że objętość tej kuli wynosi 108√3𝜋. Mamy zatem

$\frac{4}{3}\pi R^3=108\sqrt{3}\pi \mid :\pi$

$\frac{4}{3}{R}^3=108\sqrt{3}\mid :\frac{4}{3}$

$R^3=81\sqrt{3}$  

$R^3=3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}$

$R=3\sqrt{3}$     

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OAS mamy:

$r^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2$

$r^2+12=27$

$r^2=15\wedge r>0$

$r=\sqrt{15}$

Wyznaczmy pole przekroju będącego kołem. Mamy:

$P=\pi \cdot {\left(\sqrt{15}\right)}^2=\underline{\underline{15\pi }}$