Dany jest sześcian o krawędzi długości a, którego pole powierzchni całkowitej jest równe 150 cm². Mamy stąd:

$6a^2=150$  

$a^2=25\wedge a>0$  

$a=5\left[\text{cm}\right]$  

---

a)

Wiemy, że

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$

Zauważmy, że

$\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{1}{3}$

zatem

$\alpha >{45}^{\circ }$   

Rysunek:

Wiedząc, że 

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$  

mamy:

$\frac{1}{3}=\frac{x}{y}$  

$x=\frac{1}{3}y$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta EBF mamy:

$5^2+{\left(\frac{1}{3}y\right)}^2=y^2$

$25+\frac{1}{9}{y}^2=y^2$

$25=\frac{8}{9}{y}^2\mid :\frac{8}{9}$

$y^2=\frac{225}{8}\wedge y>0$     

$\underline{y=\frac{15\sqrt{2}}{4}\left[\text{cm}\right]}$  

Wyznaczmy pole tego przekroju. mamy: 

$P=5\cdot \frac{15\sqrt{2}}{4}=\frac{75\sqrt{2}}{4}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

b)

Wiemy, że

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$  

zatem

$\alpha ={45}^{\circ }$  

Rysunek:

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu mamy:

$\underline{x=5\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]}$   

Wyznaczmy pole tego przekroju. mamy: 

$P=5\sqrt{2}\cdot 5=\underline{\underline{25\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$  

---

c)

Rysunek:

Wiedząc, że

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

mamy:

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{x}$

$\sqrt{3}x=10\mid :\sqrt{3}$

$x=\frac{10}{\sqrt{3}}$

$\underline{x=\frac{10\sqrt{3}}{3}\left[\text{cm}\right]}$      

Wyznaczmy pole tego przekroju. mamy: 

$P=\frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot 5=\underline{\underline{\frac{50\sqrt{3}}{3}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$