Dany jest graniastosłup prawidłowy, którego krawędź podstawy ma długość 2. Pole jego powierzchni całkowitej wynosi 24. 

Niech H będzie długością wysokości tego graniastosłupa oraz niech P_ś oznacza pole powierzchni jednej ściany bocznej. 

---

a)

Podstawą tego graniastosłupa jest kwadrat.  

Wyznaczmy pole powierzchni podstawy tego graniastosłupa. Mamy:  

$P_p=2^2=4$  

Wiedząc, że pole powierzchni całkowitej jest równe 24 mamy:

$P_c=2P_p+4P_{\acute{s}}$  

$24=8+4P_{\acute{s}}$  

$4P_{\acute{s}}=16\mid :4$  

$P_{\acute{s}}=4$  

Jedna ściana boczna prostokąt o bokach długości 2 oraz H. Mamy zatem

$P_{\acute{s}}=2\cdot H$  

$4=2H\mid :2$  

$\underline{\underline{H=2}}$  

---

b) 

Podstawą tego graniastosłupa jest trójkąt równoboczny.  

Wyznaczmy pole powierzchni podstawy tego graniastosłupa. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy: 

$P_p=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$  

Wiedząc, że pole powierzchni całkowitej jest równe 24 mamy:

$P_c=2P_p+3P_{\acute{s}}$  

$24=2\sqrt{3}+3P_{\acute{s}}$  

$3P_{\acute{s}}=24-2\sqrt{3}\mid :3$  

$P_{\acute{s}}=\frac{24-2\sqrt{3}}{3}$  

Jedna ściana boczna prostokąt o bokach długości 2 oraz H. Mamy zatem

$\frac{24-2\sqrt{3}}{3}=2H\mid :2$  

$H=\frac{12-\sqrt{3}}{3}$  

$\underline{\underline{H=4-\frac{\sqrt{3}}{3}}}$  

---

c)

Podstawą tego graniastosłupa jest sześciokąt foremny.  

Wyznaczmy pole powierzchni podstawy tego graniastosłupa. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy: 

$P_p=6\cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$  

Wiedząc, że pole powierzchni całkowitej jest równe 24 mamy:

$P_c=2P_p+6P_{\acute{s}}$  

$24=12\sqrt{3}+6P_{\acute{s}}$  

$6P_{\acute{s}}=24-12\sqrt{3}$  

$P_{\acute{s}}=4-2\sqrt{3}$  

Jedna ściana boczna prostokąt o bokach długości 2 oraz H. Mamy zatem

$4-2\sqrt{3}=2H\mid :2$  

$\underline{\underline{H=2-\sqrt{3}}}$