Obliczmy długość boku $AB$ korzystając z twierdzenia cosinusów. Mamy:

${\left|AB\right|}^2={\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2-2\cdot \left|AC\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \cos \left(\sphericalangle ACB\right)$

${\left|AB\right|}^2={\left(2a\right)}^2+a^2-2\cdot 2a\cdot a\cdot \cos 120^{\circ }$

${\left|AB\right|}^2=4a^2+a^2-4a^2\cdot \cos \left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)$

${\left|AB\right|}^2=5a^2-4a^2\cdot \left(-\cos 60^{\circ }\right)$

${\left|AB\right|}^2=5a^2-4a^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

${\left|AB\right|}^2=5a^2+2a^2$

${\left|AB\right|}^2=7a^2|\sqrt{},\left|AB\right|>0$

$\left|AB\right|=a\sqrt{7}$  

Wobec tego dwusieczna kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną tego trójkąta na odcinki o długościach $\left|AD\right|$ i $\left|BD\right|=a\sqrt{7}-\left|AD\right|$.

Następnie skorzystamy z twierdzenia o dwusiecznej. Mamy:

$\frac{2a}{a}=\frac{\left|AD\right|}{\left|BD\right|}$

$2=\frac{\left|AD\right|}{a\sqrt{7}-\left|AD\right|}$

$2a\sqrt{7}-2\left|AD\right|=\left|AD\right||+2\left|AD\right|$  

$3\left|AD\right|=2a\sqrt{7}|:3$

$\left|AD\right|=\frac{2a\sqrt{7}}{3}$