Załóżmy, że w opisanym trójkącie bok $a$ leży naprzeciwko kąta $\alpha$, bok $b$ leży naprzeciwko kąta $\beta$, a bok $c$ leży naprzeciwko kąta $\gamma$.

---

a)

Przyjmijmy oznaczenia:

$a=5$

$b=14$

$c=15$  

Obliczmy cosinusy odpowiednich katów tego trójkąta:

$\cos \alpha =\frac{14^2+15^2-5^2}{2\cdot 14\cdot 15}=\frac{196+225-25}{420}=\frac{396}{420}=\frac{33}{35}$

$\cos \beta =\frac{5^2+15^2-14^2}{2\cdot 5\cdot 15}=\frac{25+225-196}{150}=\frac{54}{150}=\frac{9}{25}$

$\cos \gamma =\frac{14^2+5^2-15^2}{2\cdot 5\cdot 14}=\frac{196+25-225}{140}=-\frac{4}{140}=-\frac{1}{35}$

---

b) 

Przyjmijmy oznaczenia:

$a=9$

$b=10$

$c=7$  

Obliczmy cosinusy odpowiednich katów tego trójkąta:

$\cos \alpha =\frac{10^2+7^2-9^2}{2\cdot 10\cdot 9}=\frac{100+49-81}{140}=\frac{68}{140}=\frac{17}{35}$

$\cos \beta =\frac{9^2+7^2-10^2}{2\cdot 9\cdot 7}=\frac{81+49-100}{126}=\frac{30}{126}=\frac{5}{21}$

$\cos \gamma =\frac{10^2+9^2-7^2}{2\cdot 10\cdot 9}=\frac{100+81-49}{180}=\frac{132}{180}=\frac{11}{15}$

---

c) 

Przyjmijmy oznaczenia:

$a=7$

$b=13$

$c=16$  

Obliczmy cosinusy odpowiednich katów tego trójkąta:

$\cos \alpha =\frac{13^2+16^2-7^2}{2\cdot 13\cdot 16}=\frac{169+256-49}{416}=\frac{376}{416}=\frac{47}{52}$

$\cos \beta =\frac{7^2+16^2-13^2}{2\cdot 7\cdot 16}=\frac{49+256-169}{224}=\frac{136}{224}=\frac{17}{28}$

$\cos \gamma =\frac{13^2+7^2-16^2}{2\cdot 13\cdot 7}=\frac{169+49-256}{182}=-\frac{38}{182}=-\frac{19}{91}$

---

d) 

Przyjmijmy oznaczenia:

$a=1+\sqrt{2}$

$b=2\sqrt{2}$

$c=2$  

Wtedy:

$a^2={\left(1+\sqrt{2}\right)}^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}$

$b^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2=4\cdot 2=8$

Obliczmy cosinusy odpowiednich katów tego trójkąta:

$\cos \alpha =\frac{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+2^2-\left(1+{\sqrt{2}}^2\right)}{2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{8+4-\left(3+2\sqrt{2}\right)}{8\sqrt{2}}=$

$=\frac{12-3-2\sqrt{2}}{8\sqrt{2}}=\frac{9-2\sqrt{2}}{8\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}-4}{16}$

$\cos \beta =\frac{{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2+2^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}{2\cdot \left(1+\sqrt{2}\right)\cdot 2}=\frac{3+2\sqrt{2}+4-8}{4\left(1+\sqrt{2}\right)}=\frac{2\sqrt{2}-1}{4\left(1+\sqrt{2}\right)}\cdot \frac{\left(1-\sqrt{2}\right)}{\left(1-\sqrt{2}\right)}=$

$=\frac{2\sqrt{2}-4-1+\sqrt{2}}{4\cdot \left(1-2\right)}=\frac{3\sqrt{2}-5}{-4}=\frac{5-3\sqrt{2}}{4}$

  $\cos \gamma =\frac{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(1+\sqrt{2}\right)}^2-2^2}{2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \left(2+\sqrt{2}\right)}=\frac{8+3+2\sqrt{2}-4}{4\left(\sqrt{2}+2\right)}=\frac{7+2\sqrt{2}}{4\left(\sqrt{2}+2\right)}\cdot \frac{\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}-2\right)}=$

$=\frac{7\sqrt{2}-14+4-4\sqrt{2}}{4\cdot \left(2-4\right)}=\frac{3\sqrt{2}-10}{-8}=\frac{10-3\sqrt{2}}{8}$