Paweł chce kopnąć piłkę...- Zadanie 7.9: Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Edycja 2024

Rozwiązanie

Zauważmy, że piłka odbije się pod takim samym kątem z jakim uderzy w mur. Aby piłka odbiła się i trafiła w Marcina należy skonstruować kąt którego ramiona przechodzą przez punkty P i M tak aby kąty dopełniające były takie same.

Narysujmy rysunek poglądowy jak powinny wyglądać trójkąty dla obu punktów.

Mamy

$tg α = \frac{∣ P P ^{'} ∣}{∣ P ^{'} O ∣}$

Jako że kąt w trójkącie ma być taki sam to

$tg α = \frac{∣ M M ^{'} ∣}{∣ M ^{'} O ∣}$

Znamy odległości: Pawła od muru, Marcina od muru i odległość między ich pozycjami względem muru.

$∣ M^{'} P^{'} ∣, ∣ P P^{'} ∣, ∣ M M^{'} ∣$

Oraz

$∣ M^{'} P^{'} ∣ = ∣ M^{'} O ∣ + ∣ P^{'} O ∣$

Stąd

$\frac{∣ P P ^{'} ∣}{∣ P ^{'} O ∣} = \frac{∣ M M ^{'} ∣}{∣ M ^{'} P ^{'} ∣ - ∣ P ^{'} O ∣}$

$∣ P P^{'} ∣ \cdot (∣ M^{'} P^{'} ∣ - ∣ P^{'} O ∣) = ∣ P^{'} O ∣ \cdot ∣ M M^{'} ∣$

$∣ P P^{'} ∣ \cdot ∣ M^{'} P^{'} ∣ - ∣ P P^{'} ∣ \cdot ∣ P^{'} O ∣ = ∣ P^{'} O ∣ \cdot ∣ M M^{'} ∣$

$∣ P P^{'} ∣ \cdot ∣ M^{'} P^{'} ∣ = ∣ P^{'} O ∣ \cdot ∣ M M^{'} ∣ + ∣ P P^{'} ∣ \cdot ∣ P^{'} O ∣$

$∣ P^{'} O ∣ = \frac{∣ P P ^{'} ∣ \cdot ∣ M ^{'} P ^{'} ∣}{∣ M M ^{'} ∣ + ∣ P P ^{'} ∣}$

$∣ P^{'} O ∣ = \frac{odleg ł o s ˊ c ˊ Paw ł a od muru \cdot Odleg ł o s ˊ c ˊ mi ę dzy ich pozycjami wzgl ę dem muru}{Suma odleg ł o s ˊ ci ka z ˙ dego z nich od muru}$