Odległość punktu od prostej

Odległość punku $P=\left(x_0,y_0\right)$ od prostej $l:Ax+By+C=0$ wyraża się wzorem $d\left(P,l\right)=\frac{\left|A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

---

Symetria względem osi x sprawia ze zmienia się znak współrzędnej y, stąd równanie okręgu

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=18$  

a) Jeśli punkt leży na okręgu to jego współrzędne spełniają równanie

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=18$  

${\left(1-4\right)}^2+{\left(4-7\right)}^2=18$  

${\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2=18$  

$9+9=18$  

Zgadza się.

c.b.d.u.

---

b) Styczna jest odległa od środka okręgu o tyle ile wynosi promień. Szukamy równania stycznej

$y=ax+b$  

$0=ax-y+b$  

Przechodzi przez punkt A, zatem

$4=a+b\mid -b$  

$a=4-b$  

$\frac{\left|\left(4-b\right)\cdot 4+\left(-1\right)\cdot 7+b\right|}{\sqrt{{\left(4-b\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=3\sqrt{2}{\mid }^2$  

$\frac{{\left(16-4b-7+b\right)}^2}{{\left(4-b\right)}^2+1}=18\mid \cdot \left({\left(4-b\right)}^2+1\right)$  

${\left(9-3b\right)}^2=18\left(16-8b+b^2+1\right)$  

$81-54b+9b^2=288-144b+18b^2+18$  

$0=225-90b+9b^2\mid :9$  

$b^2-10b+25=0$  

${\left(b-5\right)}^2=0$  

$b-5=0$  

$b=5$  

Stąd

$a=4-b=4-5=-1$  

Zatem równanie stycznej

$y=-x+5$