Rysunek pomocniczy:

 

Możliwość I.

Wykres funkcji f(x) ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostą x=1, gdzie -1≤y≤1.

Zatem otrzymujemy:

$-1\le f\left(1\right)\le 1$  

$-1\le m+2+m\le 1$  

$-1\le 2m+2\le 1$  

$-3\le 2m\le -1$  

$-\frac{3}{2}\le m\le -\frac{1}{2}$  

 

Możliwość II.

Wykres funkcji f(x) ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostą x=-1, gdzie -1≤y≤1.

Zatem otrzymujemy:

$-1\le f\left(-1\right)\le 1$  

$-1\le -m+2+m\le 1$  

$-1\le 2\le 1$  

Sprzeczność

 

Możliwość III.

Wykres funkcji f(x) ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostą y=1, gdzie -1≤x≤1.

$mx+2+m=1\mid -2$  

$mx+m=-1\mid -m$  

$mx=-1-m\mid :m$  

$x=\frac{-1-m}{m}$  

Zatem otrzymujemy:

$-1\le x\le 1$  

$-1\le \frac{-1-m}{m}\le 1$  

$-1\le -\frac{1}{m}-1\le 1$  

$0\le -\frac{1}{m}\le 2$  

$0\ge \frac{1}{m}\ge -2$  

Zauważmy, że dla m>0 nierówność nie jest spełniona.

Dla m<0 otrzymujemy:

$\frac{1}{m}\ge -2\mid \cdot m$  

$1\le -2m\mid :\left(-2\right)$  

$-\frac{1}{2}\ge m$  

$m\in (-\infty ,-\frac{1}{2}⟩$  

 

Możliwość IV.

Wykres funkcji f(x) ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostą y=-1, gdzie -1≤x≤1.

$mx+2+m=-1\mid -2$  

$mx+m=-3\mid -m$  

$mx=-3-m\mid :m$  

$x=\frac{-3-m}{m}$  

Zatem otrzymujemy:

$-1\le x\le 1$  

$-1\le \frac{-3-m}{m}\le 1$  

$-1\le -\frac{3}{m}-1\le 1$  

$0\le -\frac{3}{m}\le 2$  

$0\ge \frac{3}{m}\ge -2$  

Zauważmy, że dla m>0 nierówność nie jest spełniona.

Dla m<0 otrzymujemy:

$\frac{3}{m}\ge -2\mid \cdot m$  

$3\le -2m\mid :\left(-2\right)$  

$-\frac{3}{2}\ge m$  

$m\in (-\infty ,-\frac{3}{2}⟩$  

 

Sumując powyższe warunki otrzymujemy:

$m\in (-\infty ,-\frac{1}{2}⟩$