Nierówność trójkąta Z odcinków o długościach $a$, $b$ i $c$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy  $a+b>c$ gdzie $c$ jest długością najdłuższego odcinka.

---

a)

Rozważamy odcinki o długościach $2$, $2$ i $\sqrt{7}$. Suma długości dwóch krótszych odcinków jest równa

$2+2=4$

Najdłuższy odcinek ma długość $\sqrt{7}$. Liczba $\sqrt{7}$ jest mniejsza od liczby $3=\sqrt{9}$.

Mamy więc, że

$\underset{4}{\underbrace{2+2}}>\sqrt{7}$

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka, więc z podanych odcinków można zbudować trójkąt.

---

b)

Rozważamy odcinki o długościach $7$, $8$ i $\sqrt{225}$. Suma długości dwóch krótszych odcinków jest równa

$7+8=15$

Najdłuższy odcinek ma długość $\sqrt{225}=15$. Suma długości dwóch krótszych odcinków nie jest większa od długości najdłuższego odcinka, więc z podanych odcinków nie można zbudować trójkąta.

---

c)

Rozważamy odcinki o długościach $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{6}$. Suma długości dwóch krótszych odcinków jest równa

$\frac{1^{\cdot 3}}{4_{\cdot 3}}+\frac{1^{\cdot 2}}{6_{\cdot 2}}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$

Najdłuższy odcinek ma długość

$\frac{1^{\cdot 6}}{2_{\cdot 6}}=\frac{6}{12}$

Zauważmy, że

$\underset{\frac{5}{12}}{\underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}}<\underset{\frac{6}{12}}{\underbrace{\frac{1}{2}}}$ 

Suma długości dwóch krótszych odcinków nie jest większa od długości najdłuższego odcinka, więc z podanych odcinków nie można zbudować trójkąta.

---

d)

Rozważamy odcinki o długościach $1$, $\frac{1}{\sqrt{2}}$ i $\sqrt{2}$. Suma długości dwóch krótszych odcinków jest równa

$1+\frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1+\frac{1,4}{2}=1+0,7=1,7$

Najdłuższy odcinek ma długość

$\sqrt{2}\approx 1,4$

Mamy więc, że

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}$ 

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka, więc z podanych odcinków można zbudować trójkąt.