Założenie:

$a<b$

Teza:

$\left|x-a\right|<\left|x-b\right|\text{dla}x\in \left(-\infty ;\frac{a+b}{2}\right)$

Dowód:

Nierówność: |x-a|oznacza, że odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b. 

Zauważmy, że średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między liczbami a i b. 

 

Szukamy takich liczb x, dla których odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b.

Jeśli średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między tymi liczbami, to dla x będącego tą średnią, odległość liczby x od liczby a będzie taka sama, jak odległość liczby x od liczby b, więc nierówność z tezy nie będzie spełniona.

Aby odległość liczby x od liczby a była mniejsza niż odległość liczby x od liczby b, musimy wziąć wartości x mniejsze od średniej arytmetycznej liczb a i b:

 

$x\in \left(-\infty ;\frac{a+b}{2}\right)$