Cechy podzielności liczb Liczba naturalna jest podzielna przez $3$, gdy suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez $3.$

---

a)

Rozważamy liczbę $3333\boxed{a}4$. Wyznaczmy sumę cyfr tej liczby.

$3+3+3+3+a+4=16+a$

Liczba będzie podzielna przez $3$, gdy suma jej cyfr, czyli $16+a$, będzie podzielna przez $3.$

Skoro $a$ jest cyfrą, to liczba $16+a$ spełnia nierówność

$16+0\le 16+a\le 16+9$

Czyli 

$16\le 16+a\le 25$

Ponadto liczba $16+a$ jest podzielna przez $3,$ więc jest równa

$\begin{array}{ccccc}16+a=18& \text{lub}& 16+a=21& \text{lub}& 16+a=24\\ a=\underline{\underline{2}}& & a=\underline{\underline{5}}& & a=\underline{\underline{8}}\end{array}$

Zatem za $a$ można podstawić jedną z cyfr:

$\underline{\underline{2,5,8}}$

---

b)

Rozważamy liczbę $64\boxed{a}871$. Wyznaczmy sumę cyfr tej liczby.

$6+4+a+8+7+1=26+a$

Liczba będzie podzielna przez $3$, gdy suma jej cyfr, czyli $26+a$, będzie podzielna przez $3.$

Skoro $a$ jest cyfrą, to liczba $26+a$ spełnia nierówność

$26+0\le 26+a\le 26+9$

Czyli 

$26\le 26+a\le 35$

Ponadto liczba $26+a$ jest podzielna przez $3,$ więc jest równa

$\begin{array}{ccccc}26+a=27& \text{lub}& 26+a=30& \text{lub}& 26+a=33\\ a=\underline{\underline{1}}& & a=\underline{\underline{4}}& & a=\underline{\underline{7}}\end{array}$

Zatem za $a$ można podstawić jedną z cyfr:

$\underline{\underline{1,4,7}}$

---

c)

Rozważamy liczbę $434\boxed{a}4\boxed{a}$. Wyznaczmy sumę cyfr tej liczby.

$4+3+4+a+4+a=15+2a$

Liczba będzie podzielna przez $3$, gdy suma jej cyfr, czyli $15+2a$, będzie podzielna przez $3.$

Zauważmy, że liczba $15$ jest podzielna przez $3$, więc suma $15+2a$ będzie podzielna przez $3$ wtedy, gdy liczba $2a$ będzie podzielna przez $3$. 

Z kolei liczba $2a$ będzie podzielna przez $3$ wtedy, gdy liczba $a$ będzie podzielna przez $3.$ Skoro $a$jest cyfrą i jest podzielne przez $3$, to może być jedną z następujących cyfr:

$\underline{\underline{0,3,6,9}}$

---

d)

Rozważamy liczbę $5\boxed{a}\boxed{a}6\boxed{a}3$. Wyznaczmy sumę cyfr tej liczby.

$5+a+a+6+a+3=14+3a$

Liczba będzie podzielna przez $3$, gdy suma jej cyfr, czyli $14+3a$, będzie podzielna przez $3.$

Zauważmy, że liczba $3a$ jest podzielna przez $3$, ponieważ iloczyn liczby $3$ i dowolnej innej liczby naturalnej jest zawsze podzielny przez $3$. Liczba $14$ nie jest podzielna przez $3$. Oznacza to, że suma $14+3a$ nigdy nie będzie podzielna przez $3$, bo jest sumą dwóch liczb: jednej podzielnej i drugiej niepodzielnej przez $3$. 

Stąd mamy, że nie ma takiej cyfry $a$, dla której rozważana liczba będzie podzielna przez $3$, bo suma cyfr tej liczby nigdy nie będzie podzielna przez $3$.