Warunek wystarczający (dostateczny) istnienia ekstremum.   1. Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz f'(x) > 0 dla x ∈ (a, x0) i f'(x) < 0 dla x ∈ (x0, b), to f ma w punkcie x0 maksimum.   2. Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz f'(x) < 0 dla x ∈ (a, x0) i f'(x) > 0 dla x ∈ (x0, b), to f ma w punkcie x0 minimum.

---

---

a)

$f\left(x\right)=-x^3+3x^2+9x$  

Funkcja f jest wielomianem, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=-3x^2+6x+9$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}-3x^2+6x+9=0$

Rozwiązujemy równanie:

$-3x^2+6x+9=0\mid :3$

$-x^2+2x+3=0$

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 3=4+12=16,\sqrt{\Delta }=4$

$x=\frac{-2-4}{-2}=3\vee x=\frac{-2+4}{-2}=-1$

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x\in \left\{-1,3\right\}$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-1,3\right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(3,\infty \right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-1 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=-1 równe:

$f\left(-1\right)=-{\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2+9\cdot \left(-1\right)=$  

$=1+3-9=-5$

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=3 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=3 równe: 

$f\left(3\right)=-3^3+3\cdot 3^2+9\cdot 3=$  

$=-27+27+27=27$

---

---

b)

$f\left(x\right)=x^3-12x-3$  

Funkcja f jest wielomianem, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=3x^2-12$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}3x^2-12=0$

Rozwiązujemy równanie:

$3x^2-12=0\mid :3$

$x^2-4=0$

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x=2\vee x=-2$

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x\in \left\{-2,2\right\}$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-2,2\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=2 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=2 równe:

$f\left(2\right)=2^3-12\cdot 2-3=8-24-3=-19$  

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-2 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=-2 równe: 

$f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-12\cdot \left(-2\right)-3=-8+24-3=13$  

---

---

c)

$f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-10x$  

Funkcja f jest wielomianem, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=x^2+3x-10$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}{x}^2+3x-10=0$

Rozwiązujemy równanie:

$x^2+3x-10=0$

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-10\right)=9+40=49,\sqrt{\Delta }=7$

$x=\frac{-3-7}{2}=-5\vee x=\frac{-3+7}{2}=2$

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x\in \left\{-5,2\right\}$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(2,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-5,2\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=2 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=2 równe:

$f\left(2\right)=\frac{2^3}{3}+\frac{3\cdot 2^2}{2}-10\cdot 2=$  

$=\frac{8}{3}+\frac{12}{2}-20=2\frac{2}{3}-14=-11\frac{1}{3}$  

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-5 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=-5 równe: 

$f\left(-5\right)=\frac{{\left(-5\right)}^3}{3}+\frac{3\cdot {\left(-5\right)}^2}{2}-10\cdot \left(-5\right)=$

$=-\frac{125}{3}+\frac{75}{2}+50=-\frac{250}{6}+\frac{225}{6}+\frac{300}{6}=$    

$=\frac{275}{6}=45\frac{5}{6}$  

---

---

d)

$f\left(x\right)=x^4-8x^2+6$  

Funkcja f jest wielomianem, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=4x^3-16x$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}4x^3-16x=0$

Rozwiązujemy równanie:

$4x^3-16x=0$

$4x\left(x^2-4\right)=0$

$4x\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x=0\vee x=2\vee x=-2$  

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x\in \left\{-2,0,2\right\}$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-2,0\right)\cup \left(2,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,2\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-2 oraz w punkcie x₀=2 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=-2 oraz w punkcie x₀=2 równe:

$f\left(2\right)=2^4-8\cdot 2^2+6=16-32+6=-10$

$f\left(-2\right)=f\left(2\right)=-10$    

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=0 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=0 równe: 

$f\left(0\right)=0^4-8\cdot 0^2+6=6$  

---

---

e)

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^4+x^2-3$  

Funkcja f jest wielomianem, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=2x^3+2x$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}2x^3+2x=0$

Rozwiązujemy równanie:

$2x^3+2x=0$

$2x\left(x^2+1\right)=0$

$x=0\vee \underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{x^2=-1}$

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x=0$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(0,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,0\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=0 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=0 równe:

$f\left(0\right)=\frac{1}{2}\cdot 0^4+0^2-3=-3$  

---

---

f)

$f\left(x\right)=x^5-15x^3+1$  

Funkcja f jest wielomianem, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=5x^4-45x^2$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}5x^4-45x^2=0$

Rozwiązujemy równanie:

$5x^4-45x^2=0$

$5x^2\left(x^2-9\right)=0$

$5x^2\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$

$x=0\vee x=3\vee x=-3$  

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x\in \left\{-3,0,3\right\}$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(3,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-3,0\right)\cup \left(0,3\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=3 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=3 równe:

$f\left(3\right)=3^5-15\cdot 3^3+1=243-405+1=-161$  

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-3 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=-3 równe: 

$f\left(-3\right)={\left(-3\right)}^5-15\cdot {\left(-3\right)}^3+1=-243+405+1=163$  

---

---

g)

$f\left(x\right)=x+\frac{4}{x},x\ne 0$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=1-\frac{4}{x^2},x\ne 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}1-\frac{4}{x^2}=0$

Rozwiązujemy równanie:

$1-\frac{4}{x^2}=0$

$\frac{x^2-4}{x^2}=0\mid \cdot x^2$

$x^2-4=0$

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$  

$x=2\vee x=-2$  

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x\in \left\{-2,2\right\}$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-2,0\right)\cup \left(0,2\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=2 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=2 równe:

$f\left(2\right)=2+\frac{4}{2}=2+2=4$  

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-2 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=-2 równe: 

$f\left(-2\right)=-2+\frac{4}{-2}=-2-2=-4$  

---

---

h)

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{x},x\ne 0$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=x-\frac{1}{x^2},x\ne 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}x-\frac{1}{x^2}=0$

Rozwiązujemy równanie:

$x-\frac{1}{x^2}=0$

$\frac{x^3-1}{x^2}=0\mid \cdot x^2$

$x^3-1=0$

$x=1$  

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x=1$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(1,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,1\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=1 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=1 równe:

$f\left(1\right)=\frac{1}{2}\cdot 1^2+\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$  

---

---

i)

$f\left(x\right)=x^3+\frac{3}{x},x\ne 0$  

Funkcja f jest wielomianem, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=3x^2-\frac{3}{x^2},x\ne 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f': 

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}3x^2-\frac{3}{x^2}=0$

Rozwiązujemy równanie:

$3x^2-\frac{3}{x^2}=0$

$\frac{3x^4-3}{x^2}=0\mid \cdot x^2$

$3x^4-3=0$

$3\left(x^4-1\right)=0$  

$3\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=0$  

$3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=0$  

$x=1\vee x=-1\vee \underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{x^2=-1}$  

czyli

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{dla}x\in \left\{-1,1\right\}$         

---

Szkicujemy pomocniczo wykres funkcji f':

Z wykresu funkcji f' odczytujemy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,1\right)$

---

Korzystamy z warunku dostatecznego istnienia ekstremum.

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=1 z ujemnego na dodatni.)

Wnioskujemy, że funkcja f ma minimum w punkcie x₀=1 równe:

$f\left(1\right)=1^3+\frac{3}{1}=1+3=4$  

 

(Pochodna zmienia znak w punkcie x₀=-1 z dodatniego na ujemny.) 

Wnioskujemy, że funkcja f ma maksimum w punkcie x₀=-1 równe: 

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+\frac{3}{-1}=-1-3=-4$