a)

Ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie a1 < 0 i ilorazie q jest: rosnący, gdy 0 < q < 1 malejący, gdy q > 1 stały, gdy q = 1

---

Uzasadnienie: 

Zauważamy, że aby sprawdzić monotoniczność ciągu określamy znak wyrażenia

$a_{n+1}-a_n$

ponieważ

• jeśli każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, to ciąg jest rosnący:

$a_{n+1}-a_n>0$  

• jeśli każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, to ciąg jest malejący:

$a_{n+1}-a_n<0$  

• jeśli każdy kolejny wyraz jest taki sam jak poprzedni, to ciąg jest stały:

$a_{n+1}-a_n=0$   

---

Zatem wyznaczamy wartość różnicy i określamy jej znak:

$a_{n+1}-a_n=a_1\cdot q^{n+1-1}-a_1\cdot q^{n-1}=a_1\cdot q^n-a_1\cdot q^{n-1}=$  

$=a_1\cdot q^n-a_1\cdot q^n\cdot q^{-1}=a_1{q}^n\left(1-q^{-1}\right)=a_1{q}^n\left(1-\frac{1}{q}\right)$

---

Rozważamy znak różnicy, gdy: 

• $a_1<0\text{oraz}0<q<1$

$\underset{<0}{\underbrace{a_1}}\underset{>0}{\underbrace{q^n}}\underset{<0}{\underbrace{\left(1-\frac{1}{q}\right)}}>0$     

zatem ciąg jest rosnący.

• $a_1<0\text{oraz}q>1$

$\underset{<0}{\underbrace{a_1}}\underset{>0}{\underbrace{q^n}}\underset{>0}{\underbrace{\left(1-\frac{1}{q}\right)}}<0$     

zatem ciąg jest malejący.

• $a_1<0\text{oraz}q=1$

$\underset{<0}{\underbrace{a_1}}\underset{=1}{\underbrace{q^n}}\underset{=0}{\underbrace{\left(1-\frac{1}{q}\right)}}=0$     

zatem ciąg jest stały.

---

---

b)

	$a_1<0$	$a_1>0$
$q<0$	$-4,8,-16,\dots$ nie jest monotoniczny	$1,-2,4,-8,16,\dots$   nie jest monotoniczny
$q=0$	$-3,0,0,0,0,\dots$ niemalejący	$4,0,0,0,0,\dots$ nierosnący
$0<q<1$	$-4,-2,-1,\dots$ rosnący	$4,2,1,\dots$   malejący
$q>1$	$-4,-8,-16,\dots$ malejący	$4,8,16,\dots$ rosnący